Dowód twierdzenia o indeksie teorii K - drobne zamieszanie
Próbuję zrozumieć ogólne podejście do $K$-teoretyczny dowód twierdzenia o indeksie Atiyah-Singera, używając tego https://arxiv.org/pdf/math/0504555.pdfpapier. Wpadłem na pewne zamieszanie na stronie 29, gdzie jest powiedziane:
„Pozostaje tylko pokazać, że indeks analityczny dojeżdża do izomorfizmu Thoma $\phi:K(X)\to K(V)$ gdzie $V$ jest złożonym wiązką wektorów powyżej $X$. […] Ten problem jest znacznie uproszczony, jeśli weźmiemy pod uwagę trywialne pakiety, które można wyrazić jako produkt$V = X \times\mathbb{R}^n$. ”
Na tej samej stronie rozważa pakiet wektorów $Y$ który wydaje się być powiązany pakietem jakiegoś podmiotu głównego $G$-pakiet, ale autor ponownie rozważa $P\times_{O(n)} \mathbb{R}^n$czyli prawdziwy pakiet wektorów. Nie do końca rozumiem, jak to ma sens, jeśli chcemy coś udowodnić dla złożonych wiązek wektorowych. Rozumiem, że możemy postrzegać złożony pakiet wektorów jako prawdziwy pakiet wektorów, po prostu „zapominając” o złożonej strukturze, ale ponieważ izomorfizm Thoma (przynajmniej w artykule) jest zdefiniowany tylko dla złożonych wiązek wektorów, myślę, że brakuje mi coś ważniejszego. Nie mogę tego dokładnie określić, więc jeśli ktoś mógłby wyjaśnić konstrukcję na stronie 29, byłoby to bardzo wdzięczne.
Odpowiedzi
Przypomnij sobie, że jeśli $X$ i $Y$ be są zwartymi, gładkimi kolektorami i $i\colon X\hookrightarrow Y$ i jest płynnym osadzaniem, chcemy zdefiniować „mapę wrzasków”:
$$i_!\colon K_c(TX)\to K_c(TY),$$ gdzie $K_c$ jest $K$-teoria ze zwartymi podporami.
Pierwszym krokiem (por. S. 16 artykułu G. Landwebera lub s. 497-8 oryginalnego indeksu operatorów eliptycznych M. Atiyah i I. Singera : I ) jest zajęcie rurowego sąsiedztwa.$N\subseteq Y$ z $X$. Możesz go zidentyfikować za pomocą normalnego pakietu$N\to X$, co jest oczywiście prawdziwym pakietem wektorów $X$. Teraz obserwuj to$Ti\colon TX\to TY$ jest osadzaniem i to $TN$ jest rurowym sąsiedztwem $TX$. Innymi słowy:$TN\to TX$ jest prawdziwym pakietem wektorów.
Ale możemy powiedzieć jeszcze więcej. Okazuje się, że jeśli$\pi\colon TX\to X$jest występ, następnie$TN\simeq \pi^*(N\oplus N)$. Tak jak$N\oplus N\to X$można traktować jako złożony pakiet wektorów (mianowicie$N\otimes_\mathbb R \mathbb C)$, wnioskujemy, że $TN\to TX$można również traktować jako złożony pakiet wektorów. W szczególności warto rozważyć homomorfizm Thoma$K_c(TX)\to K_c(TN)$.
Aksjomat wycięcia pozwala nam zdefiniować „indeks analityczny” dla $N$ jako mapa $K_c(TN)\to \mathbb Z$. (Zauważ, że ten "indeks analityczny" jest definiowany poprzez osadzanie w zwartych rozmaitościach, więc jego znaczenie jest inne niż w przypadku zwartym). Chcemy pokazać, że ten indeks analityczny dojeżdża z homomorfizmem Thoma zdefiniowanym powyżej. Aby to zrobić, obserwujemy to$N$, jak zwykły pakiet $X$, można zapisać jako $P\times_{O(n)} \mathbb R^n$, gdzie $P$ jest mocodawcą $O(n)$-bundle i $X=P/O(n)$. Następnie stosuje się multiplikatywny aksjomat indeksu analitycznego. (Jest to najbardziej zaawansowana część dowodu i faktycznie motywuje do użycia równoważnika$K$-teoria w tym przypadku. Jeśli jednak$N$ to trywialny pakiet, $O(n)$ można zastąpić trywialną grupą $1$, a równoważność nie jest potrzebna. Podobnie dla orientowalnych$X$wystarczy rozważyć grupę $SO(n)$, co nieco upraszcza dowód).
Wydaje się, że ta konstrukcja została stworzona dla rzeczywistych wiązek wektorów, ponieważ każdy złożony pakiet wektorów można uznać za prawdziwy pakiet wektorów, odrzucając złożoną strukturę. Mam pewne problemy z uzasadnieniem tego, ponieważ musimy ponownie dodać złożoną strukturę dla izomorfizmu Thoma i chciałbym usłyszeć, dlaczego nie używamy$U(n)$-wektory zamiast tego, ponieważ $U(n)$to także kompaktowa grupa Lie. Czy nie możemy w ten sposób utworzyć żadnego złożonego pakietu wektorów, tak jak możemy utworzyć dowolny prawdziwy pakiet wektorowy jako wiązkę powiązaną z jakimś głównym pakietem?