Gdyby $g$ jest ciągłą i rosnącą funkcją $x$, Udowodnij to $g(X)$ jest zmienną losową.

Question

Ćwiczenie 2.3.12 autorstwa Grimmet Stirzaker Probability and Random processeszawiera następujące pytania . Chciałbym, żebyście pomogli zweryfikować moje rozwiązanie.

Pozwolić $X$ być zmienną losową i $g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$być ciągłe i ściśle wzrastać. Pokazują, że$Y = g(X)$ jest zmienną losową.

Moje rozwiązanie.

Tak jak $g$jest funkcją narastającą monotonicznie, jest iniekcyjna (jeden do jednego). To znaczy, jeśli$x_1 < x_2$, następnie $g(x_1) < g(x_2)$. W związku z tym,$x_1 \ne x_2 \implies g(x_1) \ne g(x_2)$.

Nie wiem, jak to wywnioskować $g$ jest suriektywne (na).

Gdyby $g$ jest bijektywna, funkcja odwrotna $g^{-1}$ istnieje i jest dobrze zdefiniowana.

Stąd zestaw

\begin{align*} &\{ \omega : g(X(\omega)) \le x \}\\ =&\{ \omega : (X(\omega) \le g^{-1}(x) \} \in \mathcal{F} \end{align*}

od $X$jest zmienną losową. W konsekwencji,$g(X)$ jest zmienną losową.

Answer 1

Ciągłość i ścisła monotoniczność $g$są nieistotne. To jest wymagane$g$jest funkcją Borela. Zwróć uwagę, że każdy warunek „$g$ jest ciągły ","$g$ jest monotoniczny narastający ”oznacza to $g$ jest funkcją Borela.

Przypuszczam, że $g$jest funkcją Borela. Pozwolić$A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$. Obseruj to$g(X)^{-1}(A) = X^{-1}(g^{-1}(A))\in\mathcal{F}$ dlatego $g^{-1}(A)$to zestaw Borel. W związku z tym$g(X)$ jest $\mathcal{F}/\mathcal{B}(\mathbb{R})$mierzalne, tj. zmienna losowa.