Gdyby $p$ jest dziwną liczbą pierwszą z $p ≡ 3(\mod 4)$, następnie $(p-1)! + p\mathbb{Z} = (-1)^{(p-1)/2} +p\mathbb{Z}$

Aug 16 2020

Udowodnij, że to prawda. Podaj kontrprzykład, jeśli fałsz. Gdyby$p$ jest dziwną liczbą pierwszą z $p ≡ 3(\mod 4)$, następnie $$(p-1)! + p\mathbb{Z} = (-1)^{(p-1)/2} +p\mathbb{Z}.$$

Dowód. $p ≡ 3(\mod 4)$ sugeruje $4|p-3$. Twierdzenie Wilsona mówi: Jeśli p jest liczbą pierwszą, to$$(p-1)! + p\mathbb{Z} = -1 + p\mathbb{Z}$$ lub równoważnie $$(p-1)! ≡ -1(\mod p).$$ To ostatnie sugeruje $$p|(p-1)!+1.$$

Nie jestem pewien, dokąd się udać, ani czy jest to nawet właściwe podejście na początek.

Odpowiedzi

1 SiongThyeGoh Aug 16 2020 at 13:03

Wiemy to z twierdzenia Wilsona $(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}$,

Dlatego wystarczy to udowodnić $$(-1)^{\frac{p-1}2}=-1$$

co jest równoznaczne z udowodnieniem tego $\frac{p-1}2$ jest liczbą nieparzystą

Gdyby $p = 4k+3$, następnie $$\frac{p-1}{2}=\frac{4k+2}{2}=2k+1$$ która jest liczbą nieparzystą.