Globalne sekcje całki właściwej $k$-scheme jest skończonym rozszerzeniem pola $k$

Nov 21 2020

Próbuję pokazać, co następuje: jeśli $X$ jest integralną właściwą $k$-schemat, $k$ więc pole $O_X(X)$ jest skończonym rozszerzeniem pola $k$.

Udało mi się to pokazać $O_X(X)$ jest polem, ale nie rozumiem, dlaczego musi być rozszerzeniem pola skończonego.

(Aby pokazać, że jest to pole, którego użyłem, sekcja globalna s odpowiada morfizmowi $X \to \operatorname{Spec} k[x]$można pokazać, że obraz jest punktem zamkniętym, więc jeśli $s \neq 0$ istnieje nieredukowalny wielomian $g \in k[x]$ takie że $g(s)=0$, więc jest odwracalny.)

Chciałbym uniknąć używania wyniku kohomologii / skończoności Grothendiecka dla poprawnych morfizmów. zadano tutaj podobne pytanie , ale nie zakładam$X$ jest geometrycznie całka.

Odpowiedzi

1 KReiser Nov 24 2020 at 08:00

Rozwiązanie zostało wypracowane w komentarzach. Ponieważ mapy ograniczeń dla snopa struktury na schemacie integralnym są iniekcyjne,$O_X(X)$ osadzone w $O_X(\operatorname{Spec} A)=A$ dla $\operatorname{Spec} A$ dowolny afiniczny otwarty podschemat programu $X$. Pozwolić$\mathfrak{m}$ być maksymalnym ideałem $A$. Następnie$O_X(X)\subset A$ nie przecina się $\mathfrak{m}$, więc mapa z $O_X(X)$ do swojego obrazu w $A/\mathfrak{m}$jest zastrzykiem. A zatem$O_X(X)$ osadza się w polu pozostałości schematu typu skończonego $k$i wszystkie takie pola reszt są skończonymi rozszerzeniami $k$ przez lemat Zariskiego.