IDTFT splotu w dziedzinie częstotliwości

Dec 06 2020

Próbowałem wszystkiego. Jeśli rzeczywiście wiesz, jak rozwiązać ten problem, czy możesz podać wskazówkę?

$$ e^{-2j\Omega}\frac{ \sin\left( \frac{7\Omega}{2}\right)}{ \sin\left( \frac{\Omega}{2} \right)}\star \frac{\sin\left( \frac{10 \Omega}{2} \right)}{\sin\left( \frac{\Omega}{2} \right) }$$

Idealnie chciałbym znaleźć Fouriera każdej „frakcji” w osobnych, a następnie użyć właściwości: $x(n - n_o) \rightarrow e^{-jn_0\Omega}X(\omega)$ więc nie mam nic przeciwko $$ e^{-2j\Omega}$$ ale mam 2 problemy:

  1. Nie mogę użyć $\displaystyle \frac{\sin\left(\left(n+\frac 12\right)\Omega\right)}{\sin\left(\frac \Omega 2\right)}$ dla $(n+1/2) = 10/2$ dlatego $n \in Z$
  2. W DTFT w mojej książce nie ma takiej właściwości jak w ciągłym czasie, w którą można by przekształcić splot $\Omega$ domena do pomnożenia w dziedzinie czasu, więc nie wiem też, co tu robić.

aktualizacja:
Po kilku komentarzach i pomocy osób, które odpowiedziały: spróbuję zrobić to za dużo$\frac{sin(10\Omega/2)}{sin(\Omega/2)}= \frac{sin(10\Omega/2)}{sin(\Omega/2)}e^{-j\Omega(10-1)/2}e^{j\Omega(10-1)/2}=\Big[\frac{sin(10\Omega/2)}{sin(\Omega/2)}e^{-j\Omega(10-1)/2}\Big]e^{j9\Omega/2}$

Mam skorzystać z nieruchomości: $\Big[\frac{sin(10\Omega/2)}{sin(\Omega/2)}e^{-j\Omega(10-1)/2}\Big]e^{j9\Omega/2} \rightarrow 2\pi F^{-1}{\Big[\frac{sin(10\Omega/2)}{sin(\Omega/2)}e^{-j\Omega(10-1)/2}\Big]} * F^{-1}[e^{j9\Omega/2}]$
Wynik to :
$F^{-1}[e^{j9\Omega/2}] =$ $\frac{1}{2\pi}int_{\pi}^{\pi}e^{j9\Omega/2}e^{j\Omega n}d\Omega = \frac{1}{2\pi}\frac{e^{j\Omega(9/2 +n)}}{j(9/2+n)}\Big|_{-\pi}^{\pi}=\frac{4(-1)^n}{2\pi(n+9)}$ ( Myślę)

i $F^{-1}[e^{j9\Omega/2}]=1$ dla $n \in [0,9]$i 0 gdziekolwiek indziej.
Teraz musimy obliczyć splot tych 2:
wynik powinien być różny od zera tylko wtedy, gdy$n \in [0,9]$ więc:
$F^{-1}\Big[\Big[\frac{sin(10\Omega/2)}{sin(\Omega/2)}\Big]e^{-j\Omega(10-1)/2}\Big] = \begin{cases} \frac{4(-1)^n}{(n+9)} & n \in [0,9] \\ 0 & else \end{cases}$

Odpowiedzi

2 LaurentDuval Dec 06 2020 at 06:13

Wydaje mi się, że to ćwiczenie ma na celu połączenie podstawowych właściwości DTFT (zebranych tutaj: Tabela właściwości DTFT ). Matt opisał właściwość produkt / splot. Otrzymujesz również modulację z przesunięciem w czasie / złożoną. Podejrzewam (myślałem, że nie robiłem obliczeń), że problem z czynnikiem$10$ można by zająć się zmianą zmiennej: $10\Omega = 5\times (2\Omega)$i użycie właściwości skalowania (ekspansji) czasu (patrz Skalowanie czasu sekwencji dyskretnych i DTFT ):

$$ S(c\Omega) \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{ll} x[n/c] \textrm{ if } n/c \textrm{ is an integer } \\ 0 \textrm{ otherwise.} \end{array} \right.$$

Inne wskazówki dotyczą jąder Dirichleta :

$$D_N(x) =\frac{\sin\left(\left(N +1/2\right) x \right)}{\sin(x/2)}$$

Nazywane są również asinc lub psinc ( aliasowane lub okresowe kardynalne sinus lub sinc) i są związane z dyskretnymi oknami o skończonej obsłudze. Jeśli$*$ jest znakiem splotu, rozdzielczość może korzystać z iloczynu / splotu właściwości Fouriera.

Mówiąc bardziej ogólnie (na dole strony o jądrach Dirichleta ), masz tożsamość:

$$\sum_{n=0}^{N-1} e^{jn\Omega} = e^{j(N-1)\Omega/2}\frac{\sin(N \, \Omega/2)}{\sin(\Omega/2)}\,,$$

który odnosi się do DTFT dyskretnego okna czasowego $w_{[0,N-1]}$ (z indeksu $n=0$ do $n=N-1$) do stosunków sinusów ze składnikiem korygującym fazę. Możesz sprawdzić szczegóły w Dyskretnej transformacji Fouriera funkcji okna .

2 MattL. Dec 06 2020 at 19:32

Również w dyskretnym czasie mamy związek między mnożeniem w jednej dziedzinie a splotem w drugiej:

$$x[n]y[n]\Longleftrightarrow \frac{1}{2\pi}X(e^{j\omega})\star Y(e^{j\omega})\tag{1}$$

gdzie splot w dziedzinie częstotliwości jest określony przez

$$X(e^{j\omega})\star Y(e^{j\omega})=\int_{-\pi}^{\pi}X\big(e^{j\theta}\big)Y\big(e^{j(\omega-\theta)}\big)d\theta\tag{2}$$

DTFT

$$H_N(e^{j\omega})=\frac{\sin\left(\frac{N\omega} {2}\right)}{\sin\left(\frac{\omega}{2}\right)},\qquad N\textrm{ odd}\tag{3}$$

odpowiada bardzo prostej sekwencji w dziedzinie czasu. Jestem pewien, że możesz to stąd zabrać.