Ile dziur może mieć odwzorowanie odmiany algebraicznej?

Question

Pozwolić $V$ być zamkniętą podgrupą $\mathbf{P}^n$. (Pracujemy nad algebraicznie zamkniętym ciałem.) Zdefiniuj$\pi:(\mathbf{P}^n\setminus P_0)\to \mathbf{P}^{n-1}$ przez $\pi(x_0:x_1:...:x_n) = (x_0:x_1,...:x_{n-1})$, gdzie $P_0$ o to chodzi $(0,0,...,0,*)$ w $\mathbf{P}^n$.

Gdyby tylko $\pi$ zostały zdefiniowane we wszystkich $\mathbf{P}^n$, $\pi(V)$ byłaby zamkniętą podgrupą $\mathbf{P}^{n-1}$. To nie jest i$V$ nie musi być zamkniętą podgrupą $\mathbf{P}^{n-1}$. (Prosty przykład:$V:x_0^2 = x_1 x_2$.) Czy można jeszcze tak powiedzieć $\pi(V)$ zawiera $\overline{\pi(V)}\setminus W$, gdzie $W$ jest zamkniętą podgrupą o dodatnim kowymiiarze w $\overline{\pi(V)}$ i stopień $\leq \deg(V)$, mówić? W jaki sposób?

Answer 1

Wysadź w powietrze, aby uzyskać morfizm $\Pi: Bl_{P_0}\mathbf P^n \rightarrow \mathbf P^{n-1}$. Pozwolić$\widetilde{V}$ być właściwą transformacją $V$ w $Bl_{P_0}\mathbf P^n$. Następnie$\overline{\pi(V)}=\Pi(\widetilde{V})$.

Teraz możemy pisać $\widetilde{V}=V \setminus \{P_0\} \ \cup \mathbf P(C_{P_O}V)$ gdzie $C_{P_0}V$ jest stycznym stożkiem $V$ w $P_0$.

Więc $\pi(V \setminus \{P_0\})$ (który w twoim zapisie to $\pi(V)$) zawiera $\Pi(\widetilde{V}) \setminus \Pi (\mathbf P(C_{P_O}V))$.

Jak wspomniano wyżej, $\Pi(\widetilde{V})$ równa się $\overline{\pi(V)}$. Ponadto,$\mathbf P(C_{P_O}V))$ jest zamkniętym podzbiorem wyjątkowego dzielnika $E$, i $\Pi_{|E} \colon E \rightarrow \mathbf P^{n-1}$ jest izomorfizmem.

Więc rozumiemy $\pi(V)$ (w twojej notacji) zawiera $\overline{\pi(V)} \setminus W$ gdzie $W \subset \mathbf P^{n-1}$ jest podzbiorem zamkniętym izomorficznym do projekcji stycznej stożka $V$ w $P_0$.

Zamknięty zestaw $W$ ma wymiar $\operatorname{dim}(V)-1$. Z drugiej strony,$\pi(V)$ ma taki sam wymiar jak $V$ chyba że $V$ jest stożkiem, którego wierzchołek zawiera $P_0$, ale w tym przypadku $\pi(V)$ jest zbiorem zamkniętym.

Jeśli chodzi o stopień, to stopień $\mathbf P(C_{P_O}V))$jako podschemat programu$E$ równa się wielokrotności $V$ w $P_0$, stąd jest ograniczony powyżej $\operatorname{deg}(V)$. Od$W$jest (izomorficzny do) bazowego zamkniętego podzbioru tego schematu, jego stopień nie jest większy niż stopień schematu. Więc mamy$\operatorname{deg}(W) \leq \operatorname{deg}(V)$ jako wymagane.