Iloczyn / podział wykładników z silniami jako podstawą

Question

Umieściłem tę formułę na WolframAlpha $$\frac{(26!)^{n+2}}{13!}$$ i uprościł się do $$2^{23n+36}\cdot175^{3n+5}\cdot7429^{n+2}\cdot34749^{2n+3}$$

Próbowałem rozwiązać to ręcznie \begin{align} \frac{(26!)^{n+2}}{13!} & = \frac{(26\cdot25\cdot\ldots\cdot3\cdot2)^{n+2}}{13\cdot12\cdot\ldots\cdot3\cdot2} \\\\ & = (26\cdot25\cdot\ldots\cdot15\cdot14)^{n+2} \cdot (13\cdot12\cdot\ldots\cdot3\cdot2)^{n+1} \\\\ & = (2^{13}\cdot3^5\cdot5^4\cdot7^2\cdot11\cdot13\cdot17\cdot19\cdot23)^{n+2}\cdot(2^{10}\cdot3^5\cdot5^2\cdot7\cdot11\cdot13)^{n+1} \\\\ & = 2^{23n+36}\cdot(3^5)^{2n+3}\cdot(5^2)^{3n+5}\cdot7^{3n+5}\cdot11^{2n+3}\cdot13^{2n+3}\cdot17^{n+2}\cdot19^{n+2}\cdot23^{n+2} \\\\ & = 2^{23n+36}\cdot(5^2\cdot7)^{3n+5}\cdot(17\cdot19\cdot23)^{n+2}\cdot(3^5\cdot11\cdot13)^{2n+3}\\\\ & = 2^{23n+36}\cdot175^{3n+5}\cdot7429^{n+2}\cdot34749^{2n+3}\\ \end{align}

Moje pytanie brzmi: czy muszę wykonywać całą tę pracę (rozkład na czynniki pierwsze z silni) za każdym razem, gdy chcę uprościć tego rodzaju wyrażenie, czy też jest szybszy sposób, używając matematyki dyskretnej?

Answer 1

Aby uzyskać bardziej systematyczne podejście, pozwól $v_p(x)$ być $p$-adyczna wycena $x$, a następnie przez kilka podstawowych zasad, takich jak $v_p(x^n)=n\cdot v_p(x)$ i $v_p(x/y)=v_p(x)-v_p(y)$. Możemy również użyć formuły Legendre $v_p(n!)=\sum_{i=1}^{\infty}\lfloor \frac{n}{p^i} \rfloor$, więc \begin{align} v_2\left(\frac{(26!)^{n+2}}{13!}\right)&=(n+2)v_2(26!)-v_2(13!)\\ &=(n+2)\left(\left\lfloor \frac{26}{2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{26}{4} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{26}{8} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{26}{16} \right\rfloor \right)\\ &\ \ \ -\left(\left\lfloor \frac{13}{2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{13}{4} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{13}{8} \right\rfloor \right)\\ &=(n+2)(13+6+3+1)-(6+3+1)\\ &=23n+36.\\ \end{align} Teraz po prostu kontynuuj w podobny sposób dla $p=3,5,7,11,13,17,19,23$aby uzyskać pełną faktoryzację. Następnie możesz pogrupować terminy w dowolny sposób.