Interpretacja N w DFT jako liczba punktów w funkcji liczby interwałów
„N” oznacza DFT rozumiane jako liczba punktów danych w danej sekwencji lub innymi słowy długość sekwencji. Niedawno dyskutowaliśmy tutaj Indeksowanie w DFT (ze starego artykułu) i czyjeś stare pytanie Jak zmierzyć czas trwania sekwencji dyskretnej o skończonej długości? . Jedną z popularnych symbolicznych wersji DFT jest
$$ X(j)=\sum_{k=0}^{N-1} x(k) \exp \left(-i 2 \pi\left(\frac{j}{N}\right) k\right) $$
Załóżmy, że ktoś podaje nam sekwencję składającą się z N = 11 punktów, nie podając całkowitego czasu ani częstotliwości próbkowania. Jeśli zastosujemy na nim DFT w MATLAB-u, otrzymamy 11 punktów
Problemy notacyjne zaczynają się, gdy chcemy określić przedział czasu$\Delta$t i krok częstotliwości $\frac{1}{N\Delta t}$ kiedy $\Delta$t jest ujawniony.
a) Jeśli chcemy określić częstotliwość próbkowania, jest to (N-1) punktów zebranych w ciągu 1 sekundy. Ostatni punkt należy do następnego cyklu . Prawidłowa częstotliwość próbkowania to 10 Hz, a nie 11.
b) Przedstawiono rozdzielczość częstotliwości $\frac{1}{N\Delta t}$. Aby uzyskać prawidłowy krok częstotliwości, musimy wprowadzić$\frac{1}{10(0.1)}$ NIE $\frac{1}{11(0.1)}$.
Dlatego rozdzielczość częstotliwości, jeśli przyjmiemy, że N = 11, $$\frac{1}{(N-1)\Delta t}$$ ale nikt nie pokazuje tej formuły.
Wydaje się, że używamy N na dwa sposoby
- N jako długość ciągu
- N, gdy musimy określić krok częstotliwości, w którym w rzeczywistości jest o jeden mniej niż N, aby uzyskać poprawny wynik.
Szanowany kolega mówi, że N należy interpretować jako liczbę interwałów, a nie liczbę punktów. Jest to niezgodne z definiowaniem N jako liczby punktów w sekwencji. Niestety nie mogę znaleźć żadnego odniesienia, które mówi, że N to liczba przedziałów.
Jak możemy to uczynić spójnymi?
Dzięki.
Odpowiedzi
Nie, nie, nie, nie, nie! Masz tu nieporozumienie!
ROZDZIELCZOŚĆ CZĘSTOTLIWOŚCI to nie to samo, co ROZDZIELCZOŚĆ CZĘSTOTLIWOŚCI DFT BIN.
Nie potrzebujesz do tego skomplikowanej analizy. Na poniższym wykresie narysowałem 7-punktową DFT 7-punktowej sekwencji x [n]. Ponieważ DFT jest okresowy, wykreśliłem jej dwa i pół okresu.
Grafika mówi sama za siebie, że ODSTĘPY między każdą próbką DFT (inaczej pojemnikami DFT) są podane przez:
$$ \Delta_\omega = \frac{2\pi}{N} \tag{1}$$
Gdzie $N = 7$ jest liczbą próbek w DFT $X[k]$.
Otóż to. Ta wartość jest dyskretną częstotliwością w czasie (w radianach na próbkę) odstępem między każdą próbką DFT; Przez różne społeczności internetowe mylnie określane jako rozdzielczość częstotliwości DFT .
Ciągłe (analogowe) odstępy między próbkami w hercach oblicza się przy użyciu tego samego wzoru i faktu, że próbki $X[0]$ i $X[7]$ (która jest pierwszą próbką następnego okresu wykreślonego na niebiesko) są oddzielone $F_s$ Poza Hz (konsekwencja operacji próbkowania):
$$ \Delta_f = \frac{F_s}{N} \tag{2}$$
Napisz równanie 2 pod względem okresu $T_s = 1/F_s$ dostajesz :
$$ \Delta_f = \frac{1}{N \cdot T_s} = \frac{1}{ \Delta t} \tag{3}$$
I to jest wzór, który omyłkowo nazywasz „rozdzielczością częstotliwości”. Nie, nie jest. To tylko odstęp częstotliwości binningu DFT w hercach. I ta wartość$\Delta t$NIE chodzi o czas trwania sekwencji, ale tylko o konsekwencję występującej tam algebry; tak, czas trwania$N$ próbki jest również $(N-1)\cdot T_s$; stąd są podobne ilości. Dlatego czas trwania sekwencji można wykorzystać do uzyskania skrótu do odstępów częstotliwości bin DFT.
Kluczem jest zrozumienie tego, co mówi DFT , a czego szukamy . Rozważ cosinus, w którym się zmieniamy$f \text[Hz]$, $N$, i $t$ i obserwuj wpływ na DFT:
- [1] : DFT "widzi" 1 cykl w "ramce analizy" (tj. Czym ją dostarczamy), więc wartość różna od zera w$k=1$, zgodnie z oczekiwaniami.
- [1] do [2]: podwajamy czas trwania bez zmian$f$ lub $N$; DFT widzi to jako dwa cykle obejmujące ramkę analizy, więc$k=2$.
- [1] do [3]: podwajamy częstotliwość fizyczną bez zmiany$N$ lub $t$; DFT postrzega to jako dwa cykle obejmujące ramkę.
- [1] do [4]: podwajamy liczbę próbek ,$N$bez zmiany $f$ lub $t$; DFT postrzega to jako wciąż 1 cykl obejmujący ramkę; bin lokalizacja ,$k$, pozostaje niezmieniona, ale (nieznormalizowana) siła korelacji podwaja się (nie ma tu znaczenia).
- [4] do [5]: teraz również podwajamy czas trwania , dając dwa cykle w ramce analizy.
Powinieneś zobaczyć wzór. Bez dalszego czytania, spróbuj nawiązać związek między$k$, $N$, $t$, i $f$. Wskazówka: jednostki .
Oto sprawa: DFT nie ma pojęcia, czym jest Hz, czyli częstotliwość fizyczna . Wszystko, co zna, to próbki i cykle obejmujące ramkę analizy. W [1] „częstotliwość DFT” wynosi
$$ f_{\text{DFT}} = \frac{k}{N} = \frac{1 \text{ cycle}}{10 \text{ samples}} = .1 \left[ \frac{\text{cycles}}{\text{samples}} \right] $$
[2] = [3] = 2 cykle / 10 próbek, [4] = 1 cykl / 20 próbek, [5] = 2 cykle / 20 próbek. Przyjrzyjmy się teraz temu, co wiemy o częstotliwości fizycznej,$f_p$i częstotliwości DFT i powiąż je. W [2] , mówi DFT$k=2$, ale wiemy $f_p = 1$. Może to być również (nie pokazane w żadnym [1] - [5])$f_p=2$ i $k=1$. Jak konwertować?
Relacja jednocząca to:
\begin{align} f_p \left[ \frac{\text{cycles}}{\text{second}} \right] & = \left( f_{\text{DFT}} \left[ \frac{\text{cycles}}{\text{samples}} \right] \right) \cdot \left( f_s \left[ \frac{\text{samples}}{\text{second}} \right] \right) \end{align}
Tak więc dla [2] :
$$ f_{\text{DFT}} \cdot f_s = \left( \frac{2 \text{ cycles}}{10 \text{ samples}} \right) \cdot \left( \frac{10 \text{ samples}}{2 \text{ seconds}} \right) = 1 \left[ \frac{\text{cycles}}{\text{second}} \right] = 1\ \text{Hz} = f_p $$
Ale jak to ustalić $f_s$?
Mówiąc prosto, jest to odwrotność okresu próbkowania, $\Delta t$, dzięki czemu wszystko powyżej jest spójne. Należy jednak zapytać, czy „częstotliwość próbkowania” jest zdefiniowana jako „liczba próbek / całkowity czas trwania”, a „całkowity czas trwania”
$$ [0, .1, .2, .3, .4, .5, .6, .7, .8, .9]\ \text{sec} $$
jest wyraźnie $0.9\ \text{sec}$, to nie jest $f_s$ tak właściwie $.9 / 10 = 0.9\ \text{Hz}$? Nie ; czas trwania wynosi faktycznie 1 sek. Dlatego:$0.9\ \text{sec}$w rzeczywistości jest to czas trwania czegoś zupełnie innego. Mianowicie, „jaki jest czas trwania sygnału?” może zadać dwie rzeczy:
- Od jak dawna samplujemy?
- Ile czasu zawiera informacje w naszym sygnale?
Odpowiedzią na poprzednie jest $0.9\ \text{sec}$, ale to ostatnie jest $1\ \text{sec}$. Dawniej obliczono za pośrednictwem$(N-1)\Delta t$, ostatni przez $N \Delta $i jeśli nalegamy na 0,9 dla # 2, mówimy, że jedna próbka nie zawiera informacji reprezentujących czas , co oznacza, że wszystkie sygnały mają czas trwania równy zero .
Wyjaśnię to przykładami tutaj . Krótko mówiąc, celem końcowym jest opis informacji , a nie procesu, który służy do jej uzyskania.
Jaka jest więc rozdzielczość częstotliwości (raczej odstępy binów DFT)${}^{1}$?
Jest zdefiniowany jako odstęp między przedziałami DFT, $df$; odpowiedź zależy od wybranych jednostek. Dla Hertza, dla wszystkich powyższych,
$$ df_p = \frac{1}{N \Delta t} \tag{1} $$
czyli dla [2] ,$k=1$ koresponduje z $f_p = 0.5\ \text{Hz}$, $k=2$ koresponduje z $f_p = 1\ \text{Hz}$, i tak dalej. Alternatywnie, jeśli nalegasz na zdefiniowanie czasu trwania za pośrednictwem$(N-1)$, to będzie na $(N-1)$w hercach, ale nie w częstotliwościach DFT ; to ostatnie jest jednoznaczne :
$$ k=1 \rightarrow \frac{1\ \text{cycle}}{N\ \text{samples}} = \frac{1}{N} \left[ \frac{\text{cycles}}{\text{sample}} \right] $$
Możesz ponownie przekonwertować między rozdzielczością częstotliwości DFT a fizyczną; biorąc [2] ,$\text{Duration} / N = 2 \text{ sec} / 10 = .2 \text{ sec}$, więc odstępy między pojemnikami są
$$ df_p = \frac{1}{N \Delta t} = .5\ \text{Hz} $$
Odstępy mogą się zmienić, ale dzieje się to poprzez przedefiniowanie $\Delta t$ zamiast zmieniać $N$ do $(N - 1)$ w $(1)$. Załóżmy, że powiemy$\text{Duration} = 1.8\ \text{sec}$; następnie,$\Delta t = 0.18\ \text{sec}$, i
$$ df_p = \frac{1}{N \Delta t} = 0.\bar{5}\ \text{Hz} $$
Więc w [2] ,$k=1$ koresponduje z $0.56\ \text{Hz}$, i $k=2$ koresponduje z $1.1\ \text{Hz}$, co jest zgodne z wykonaniem 2 cykli w 1,8 s = 1,1 Hz.
Twój konkretny przykład :$N=11$, $\Delta t = 0.1\ \text{sec}$:
$$ df_p = \frac{1}{N \Delta t} = \frac{1}{11 \cdot 0.1\ \text{sec}} = 0.909\ \text{Hz} $$
Więc $k=1$ koresponduje z $0.909\ \text{Hz}$, a nie do 1 Hz, ponieważ umieściłeś próbkę z następnego cyklu w ramce analizy.
1: UWAGA :$df$to odstępy przedziałów DFT , a nie „rozdzielczość częstotliwości”. DFT ma doskonałą rozdzielczość częstotliwości i nie ma rozdzielczości czasowej. Ale jeśli zdefiniujesz to jako dyskryminację częstotliwości w czasie ciągłym, wówczas rozdzielczość i odstępy przedziałów są odwrotnie proporcjonalne (mniejsze odstępy -> więcej przedziałów -> bardziej ziarnista rozdzielczość). To jest osobny temat, więc uniknę szczegółowego wyjaśniania, zachęcam do otwarcia nowego q.
Naprawdę powinieneś odpuścić pojęcie dyskretnego sygnału będącego sekwencją okresów. To nie jest. To ciąg liczb - nic dodać nic ująć.
Problemy notacyjne zaczynają się, gdy chcemy określić przedział czasu $\Delta t$
dokładnie. Ponieważ nie jest to właściwość sygnału dyskretnego.
a) Jeśli chcemy określić częstotliwość próbkowania, jest to (N-1) punktów zebranych w ciągu 1 sekundy
To brzmi źle. Aby zdobyć pierwszy punkt, musiałeś już mieć sygnał. Gdyby sygnał był „nagle” wartością opisaną przez twoją próbkę, twój sygnał nie byłby ograniczony pasmem, a zatem próbkowanie go nie ma sensu, a próbki nie mają znaczenia, ponieważ sygnał ciągłego czasu może się dowolnie zmieniać między nimi.
W sumie to samo, co napisałem. Jak zmierzyć czas trwania dyskretnej sekwencji o skończonej długości? a na pytania OverLord stoi:
Przestań próbować przypisać właściwość „czas trwania” do sekwencji liczb. To tylko ciąg liczb. Gdy tylko dodasz pojęcie tych liczb reprezentujących ciągły w czasie sygnał, musisz wziąć pod uwagę, że musi to być ograniczone pasmem, a zatem nie może mieć skończonego czasu trwania. W kontekście DFT jako narzędzie do „środek” coś nad częstotliwością, szacunek widmo DFT tylko zgadza się z ciągłym czasie transformacji Fouriera dla obserwowanego pasma, jeśli sygnał jest DFT długości okresowe w chwilach próbkowania. I nie ma wątpliwości: rama jest$N\Delta t$ długi, a każda inna długość nie będzie działać.