Interpretacja pewnego ogólnego twierdzenia, którego użył Gauss w swojej pracy nad funkcjami theta.
Próbuję zrozumieć znaczenie ogólnej propozycji sformułowanej przez Gaussa w pośmiertnej pracy (ta praca jest na s. 470-481 tomu 3 werke Gaussa) na temat funkcji theta, zdania, które zdaje się służyć jako przewodnik i uporządkował zasadę ogromnej ilości relacji między funkcjami theta, które znalazł.
Notacja i definicje Gaussa
Oznacz przez $P(x,y),Q(x,y),R(x,y)$ następujące funkcje:
$$P(x,y)=1+x(y+\frac{1}{y})+x^4(y^2+\frac{1}{y^2})+x^9(y^3+\frac{1}{y^3})+...$$ $$Q(x,y)= 1-x(y+\frac{1}{y})+x^4(y^2+\frac{1}{y^2})-x^9(y^3+\frac{1}{y^3})+...$$ $$R(x,y)=x^{\frac{1}{4}}(y^{\frac{1}{2}}+y^{-\frac{1}{2}})+x^{\frac{9}{4}}(y^{\frac{3}{2}}+y^{-\frac{3}{2}})+x^{\frac{25}{4}}(y^{\frac{5}{2}}+y^{-\frac{5}{2}})+...$$
Funkcje te obejmują funkcje Jacobi theta w ich zwykłym znaczeniu jako przypadki specjalne; Jeśli$y$ jest liczbą zespoloną, której wartość bezwzględna wynosi $1$, i $z$ jest zdefiniowana jako liczba rzeczywista, taka że $y = e^{2iz}$, potem będzie:
$$P(x,y)=1+2cos(2z)x+2cos(4z)x^4+2cos(6z)x^9+...=\vartheta_3(z,x)$$
co wynika z tożsamości $cos(2nz)= \frac{e^{2inz}+e^{-2inz}}{2}$. W szczególności mamy:
$$P(x,1)=1+2x+2x^4+2x^9+...=\vartheta_3(0,x)$$, Więc można to zrozumieć $P(x,y),Q(x,y),R(x,y)$ jako uogólnienie funkcji Jacobiego theta $\vartheta(z,x)$ z czysto rzeczywistego $z$ do kompleksu $z$ (niezerowa urojona część z), więc to $|y| \ne 1$.
Uwaga: Nie jestem zbyt zaznajomiony z publikacjami Jacobiego, więc jest całkiem możliwe, że oryginalna definicja jego funkcji theta Jacobiego obejmuje również przypadek, gdy$z$ jest złożona, więc funkcje Gaussa $P(x,y),Q(x,y),R(x,y)$ są niczym innym jak po prostu funkcjami theta Jacobiego z inną notacją.
Twierdzenie Gaussa
6 sierpnia 1827 roku Gauss sformułował następujące „ogólne twierdzenie”:
$$P(x,ty)\cdot P(x,\frac{y}{t}) = P(x^2,t^2)P(x^2,y^2) + R(x^2,t^2)R(x^2,y^2) $$
a następnie wyprowadza z niego wiele relacji.
Aby uzyskać bardziej szczegółowe informacje na temat tego pytania, zapoznaj się z odpowiedzią na wpis dotyczący wymiany stosów HSM https://hsm.stackexchange.com/questions/6256/did-gauss-know-jacobis-four-squares-theorem.
Dlatego chciałbym wiedzieć, jak interpretować ogólne twierdzenie Gaussa.
Odpowiedzi
Definicję funkcji Gaussa theta można zapisać jako
$$ P(x,y) = \sum_{n\in\mathbb{Z}} x^{n^2}y^n,\;\; R(x,y) = \sum_{n\in\mathbb{Z}+\frac12} x^{n^2}y^n. \tag{1} $$
Rozważmy teraz iloczyn dwóch funkcji theta
$$ S := P(x,ty)\cdot P(x,y/t) = \left(\sum_{n\in\mathbb{Z}} x^{n^2}(ty)^n\right) \! \left(\sum_{m\in\mathbb{Z}} x^{m^2}(y/t)^m\right). \tag{2} $$
Można to przepisać jako podwójną sumę
$$ S = \sum_{n,m\in\mathbb{Z}} x^{n^2+m^2} y^{n+m}t^{n-m}. \tag{3} $$
Przepisz to używając nowych zmiennych
$$ j = \frac{n+m}2,\;\; k = \frac{n-m}2 \;\; \text{ where } \;\; n = j+k,\;\; m = j-k \tag{4} $$
dostać
$$ S = \sum_{n,m\in\mathbb{Z}} x^{2(j^2+k^2)} y^{2j}t^{2k}. \tag{5} $$
Suma podwójna $\,S\,$dzieli się na dwie sprawy. Jeden jest$\,S_0\,$ gdzie $\,n,m\,$ mają taką samą parzystość z $\,j,k\in\mathbb{Z}.\,$ Drugi jest $\,S_1\,$ gdzie $\,n,m\,$ mają różne parytety z $\,j,k\in\mathbb{Z}+\frac12.\,$ Przepisz sumy jako produkty
$$ S_0 = \sum_{j,k\in\mathbb{Z}} (x^2)^{k^2}(t^2)^k \cdot (x^2)^{j^2}(y^2)^j = P(x^2,t^2)P(x^2,y^2) \tag{6} $$
i
$$ S_1 = \sum_{j,k\in\mathbb{Z}+\frac12} (x^2)^{k^2}(t^2)^k \cdot (x^2)^{j^2}(y^2)^j = R(x^2,t^2)R(x^2,y^2). \tag{7} $$
Efektem końcowym jest
$$ S = S_0+S_1 = P(x^2,t^2)P(x^2,y^2) + R(x^2,t^2)R(x^2,y^2). \tag{8} $$
Myślę, że jest to podobne do oryginalnego dowodu Gaussa, ale nie mam sposobu, aby to wiedzieć. To podejście musi być bardzo stare.
Użyjmy zmiennych $q, z$ z $q=x, y=e^{2iz}$ po to aby $$P(x, y) =\vartheta_3(z,q),Q(x,y)=\vartheta_4(z,q),R(x,y)=\vartheta_2(z,q)$$ i możemy teraz przepisać ogólne twierdzenie Gaussa jako $$\vartheta_3(z+w,q)\vartheta_3(z-w,q)=\vartheta_3(2z,q^2)\vartheta_3(2w,q^2)+\vartheta_2(2z,q^2)\vartheta_2(2w,q^2)$$ (z $t=e^{2iw}$) jako tożsamość między funkcjami Jacobi theta.
Jest to jedna z najbardziej fundamentalnych tożsamości między funkcjami theta i prawie wszystkie algebraiczne relacje między funkcjami theta można wyprowadzić za pomocą tego. Możesz rzucić okiem na ten artykuł w arXiv, aby znaleźć pewne tożsamości wyprowadzone przez to ogólne twierdzenie Gaussa
Dowodem tego samego może być rozważenie stosunku lewej i prawej strony i wykazanie, że jest to podwójnie okresowa funkcja bez biegunów. I tak jest stała. Potrzeba trochę wysiłku, aby pokazać, że stała jest$1$ ale można to pokazać za pomocą pewnych algebraicznych manipulacji na szeregach odpowiadających tym funkcjom $z=0,w=0$.
W tej chwili nie mam bezpośredniego algebraicznego dowodu powyższej tożsamości i będę musiał sprawdzić Jacobi Fundamenta Nova, aby zobaczyć, czy Jacobi dostarczył taki dowód. Jak zauważyłeś w swoim pytaniu, funkcje Jacobiego Theta są zdefiniowane dla wszystkich złożonych$z, q$ z $|q|<1$.