Interpretacja złożonych współrzędnych trójliniowych
Punkt $X_{5374}$ w Encyklopedii centrów trójkątów ma współrzędne trójliniowe $$\sqrt{\cot A}:\sqrt{\cot B}:\sqrt{\cot C}$$Jeśli trójkąt odniesienia jest rozwarty, jedna (i tylko jedna) z tych współrzędnych staje się nierzeczywistą liczbą zespoloną poprzez obliczenie pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej. Istnieje kilka innych punktów ETC, które mogą mieć złożone współrzędne, np$X_{5000}$; nowe centrum trójkąta , o które pytałem trójliniowo$\frac1{\sqrt{a\cos A}}:\frac1{\sqrt{b\cos B}}:\frac1{\sqrt{c\cos C}}$ należy do tej samej kategorii.
Współrzędne trójliniowe z definicji to stosunek ukierunkowanych odległości od punktu do krawędzi trójkąta, ale ta interpretacja działa tylko wtedy, gdy wszystkie współrzędne są rzeczywiste. Jeśli punkt ma złożone współrzędne trójliniowe, jak mogę to zinterpretować? Preferowana byłaby interpretacja geometryczna.
Odpowiedzi
Ta odpowiedź będzie krótkim i powierzchownym przeglądem odniesień wraz z interpretacjami „wyimaginowanych” bytów w geometrii. Podczas wykonywania geometrii płaszczyzny euklidesowej pośrednio pracujesz na płaszczyźnie złożonej euklidesowej. Na prawdziwej płaszczyźnie prosta i okrąg mogą się nie przecinać, ale na płaszczyźnie złożonej tak się stanie. Możesz pracować czysto algebraicznie, ale często będą występować interpretacje geometryczne. Na przykład przecięcie rozłącznego koła i prostej da sprzężoną parę wyimaginowanych punktów, ale linia przechodząca przez nie będzie „rzeczywistą” linią, która w rzeczywistości jest linią pierwotną. Dwa wyimaginowane punkty przecięcia dwóch rozłącznych okręgów wyznaczą rzeczywistą linię, która jest radykalną osią dwóch okręgów (patrz odpowiedź). A cztery wyimaginowane punkty przecięcia dwóch stożków wyznaczą dwie linie, które uogólniają oś radykalną, a także odpowiadają zdegenerowanemu członowi ołówka zdefiniowanemu przez dwa stożki.
Wracając do trylinii, rozdział IX książki Whitworth's Trilinear Coordinates , 1866, omawia wyimaginowane punkty i linie. Adres URL zawiera wyszukiwane hasło, które umożliwia przeglądanie odniesień do wyimaginowanych jednostek.
Geometry syntetyczne już w XIX wieku miały również sposoby interpretowania tego, co wyimaginowane. Część z tego sięga do „zasady ciągłości” Ponceleta, która argumentowała, że na przykład przecięcie stożka i linii nie zniknęło nagle, gdy stały się rozłączne. Na przykład stożek a określa inwolucję na każdej prostej za pomocą par współliniowych punktów sprzężonych, a gdy punkty podwójne tej inwolucji są rzeczywiste, są to punkty przecięcia prostej i stożka. Analogicznie, inwolucje, w których podwójne punkty znajdują się poza linią, reprezentują pary urojonych punktów.
Wydaje się, że von Staudt posunął te idee najdalej. Więcej szczegółów można znaleźć w Teorii urojonego w geometrii Hattona . Również ostatnia część książki Coolidge's Geometry Of The Complex Domain .
Warto rzucić okiem na wykresy i wyobrażenia Hamiltona i Kettle .
Podejrzewam, że może to nie odpowiadać bezpośrednio na pytanie, jak interpretować złożoną współrzędną trójliniową, ale te teksty z przeszłości przynajmniej dają wyobrażenie o tym, jak geometrzy próbowali pracować z wyobrażeniami. Wypracowanie tego, jak to zrobić w geometrii syntetycznej, było imponującym osiągnięciem, ale prawdopodobnie mniej owocnym niż metody analityczne w posuwaniu się naprzód, więc jest to być może całkowicie zapomniana gałąź matematyki.