Intuicyjne wyjaśnienie, dlaczego „operator cienia” $\frac D{e^D-1}$ łączy logarytmy z funkcjami trygonometrycznymi?

Jan 01 2021

Rozważmy operatora $\frac D{e^D-1}$ który nazwiemy „cieniem”:

$$\frac {D}{e^D-1}f(x)=\frac1{2 \pi }\int_{-\infty }^{+\infty } e^{-iwx}\frac{-iw}{e^{-i w}-1}\int_{-\infty }^{+\infty } e^{i t w} f(t) \, dt \, dw$$

Całki tutaj należy rozumieć jako transformaty Fouriera.

Teraz, intuicyjnie, dlaczego następujące?

$$\left.\frac {D_x}{e^{D_x}-1} \left[\frac1\pi\ln \left(\frac{x+1/2 +\frac{z}{\pi }}{x+1/2 -\frac{z}{\pi }}\right)\right]\right|_{x=0}=\tan z$$

Istnieją inne przykłady, w których cień konwertuje funkcje trygonometryczne na odwrotne trygonometryczne, logarytmy na wykładniki itp .:

$$\left.\frac {D_x}{e^{D_x}-1} \left[\frac1{\pi }\ln \left(\frac{x+1-\frac{z}{\pi }}{x+\frac{z}{\pi }}\right)\right]\right|_{x=0}=\cot z$$

Odpowiedzi

26 TerryTao Jan 02 2021 at 04:52

Jest to w zasadzie lekko przekształcona wersja cotangentnej częściowej ekspansji frakcji Eulera $$ \pi \cot(\pi z) = \frac{1}{z} + \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{z-n} + \frac{1}{z+n}$$ (pochodna logarytmiczna jego słynnej formuły iloczynu sinusowego $\frac{\sin \pi z}{\pi z} = \prod_{n=1}^\infty \big(1-\frac{z^2}{n^2}\big)$). Poprzez teleskopowanie serii można to przepisać jako$$ \pi \cot(\pi z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{z-n-1} + \frac{1}{z+n}.$$ Według twierdzenia Taylora, $e^{nD_x}$ jest operacją tłumaczenia przez $n$, więc formalnie mamy szereg geometryczny $$ \left.\frac{1}{1-e^{D_x}} f\, \right|_{x=0} = \sum_{n=0}^\infty \left.e^{nD_x} f\right|_{x=0} = \sum_{n=0}^\infty f(n)$$ (co nawiasem mówiąc pomaga wyjaśnić wzór Eulera-Maclaurina) i tak $$ \pi \cot(\pi z) = \left.\frac{1}{1-e^{D_x}} \left(\frac{1}{z-x-1} + \frac{1}{z+x}\right) \right|_{x=0}$$ lub równoważnie $$ \pi \cot(\pi z) = - \left.\frac{D_x}{1-e^{D_x}} \ln \frac{x+z}{x+1-z} \right|_{x=0}.$$ To daje twoją tożsamość po kilku prostych zmianach (i zastąpieniu $z$ z którymkolwiek $z/\pi$ lub $z/\pi + 1/2$).

Głównym powodem tożsamości częściowej ułamka Eulera jest to, że bieguny i reszty funkcji cotangens są łatwe do zidentyfikowania i obliczenia. Powód, dla którego można je zwinąć do wyrażenia obejmującego operator sumowania$\frac{1}{1-e^{D_x}}$jest to, że te bieguny i reszty mają niezmienność translacji, która ostatecznie pochodzi z okresowości funkcji cotangens. Wyobrażam sobie, że Weierstrass ma podobne tożsamości$\wp$ funkcja, która jest podwójnie okresowa z bardzo specyficznym zachowaniem biegunów.

9 TomCopeland Jan 02 2021 at 08:48

Op $$T_x = \frac{D_x}{e^{D_x}-1} = e^{b.D_x},$$

gdzie $(b.)^n = b_n$są liczbami Bernoulliego, są (znaki mod) często określane jako operator Todda (być może pierwotnie nadał tę nazwę Hirzebruchowi, który użył jej do skonstruowania swojej klasy charakterystycznej Todda).

Ma właściwość dyskretyzującą (lub derywacyjną), którą można wyrazić na następujące użyteczne sposoby

$$f(x) = T_x T_x^{-1} f(x) = \frac{D}{e^D-1} \frac{e^D-1}{D} f(x) = T_x \int_{x}^{x+1} f(t) dt$$

$$ = e^{b.D} \;\int_{x}^{x+1} f(t) dt = \int_{b.+x}^{b.+x+1} f(t) dt =\int_{B.(x)}^{B.(x)+1} f(t) dt$$

$$ = F(B.(x)+1) - F(B.(x)) = F(B.(x+1)) - F(B.(x)) = D_x \; F(x),$$

gdzie

$$B_n(x) = (b.+x)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \; b_n \; x^{n-k}$$

to słynne wielomiany Appella Bernoulliego, z egf $e^{B.(x)t}= e^{(b.+x)t} = \frac{t}{e^t-1}e^{xt}$, i $F(x)$ jest całką nieokreśloną / pierwotną z $f(x)$. Ostatnia równość ilustruje derywacyjną własność wielomianów Bernoulliego i całkowicie je definiuje.

To prowadzi do

$$\sum_{k=0}^n f(x+k) = T \; \int_{x}^{x+n+1} f(t) dt $$

$$ = e^{b.D} \; \int_{x}^{x+n+1} f(t) dt = \int_{B.(x)}^{B.(x+n+1)} f(t) dt$$

$$ = F(B.(x+n+1)) - F(B.(x)),$$

aw szczególności ciąg relacji

$$\sum_{k=0}^n (x+k)^s =T_x \; \int_{x}^{x+n+1} t^{s} dt $$

$$= e^{b.D} \int_{x}^{x+n+1} t^{s} dt = \int_{B.(x)}^{B.(x+n+1)} t^s dt$$

$$ = T_x \; \frac{(x+n+1+)^{s+1} -x^{s+1}}{s+1} = e^{b.D} \frac{(x+n+1+)^{s+1} -x^{s+1}}{s+1}$$

$$ = \frac{(B.(x+1+n))^{s+1} -(B.(x))^{s+1}}{s+1} = \frac{B_{s+1}(x+1+n) - B_{s+1}(x)}{s+1}$$

$$ = \sum_{k=0}^n \frac{B_{s+1}(x+1+k) - B_{s+1}(x+k)}{s+1}$$

$$ = \sum_{k=0}^n \frac{(B.(x+1+k))^{s+1} - (B.(x+k))^{s+1}}{s+1}$$

$$ = \sum_{k=0}^n D_x \; \frac{(x+k)^{s+1}}{s+1}.$$

Jeśli odpowiednio podejmiesz limit $s \to -1$, dochodzisz do relacji do logarytmu naturalnego, skąd, wraz z rozszerzeniami szeregowymi funkcji trygonometrycznych w odpowiedzi Terry'ego Tao, możesz drażnić swoje określone formuły.

Bardziej wyrafinowane, ilustracyjne zastosowanie formuły dyskretyzującej znajduje się w równaniu. 1, "formuła Khovanskii-Pukhlikov, kombinatoryczny odpowiednik formuły Hirzebrucha-Riemanna-Rocha (HRR) dla gładkiej odmiany torycznej X z bardzo dużym dzielnikiem D ..." na stronie 2 "$T_y$- operator całek nad polytopami sieciowymi ”autorstwa Gody, Kamimury i Ohmoto.

Zwróć także uwagę na odwrotną sekwencję umbralną do wielomianów Bernoulliego, wielomiany potęgowe Appella

$$\hat{B}_n(x) = \frac{(x+1)^{n+1}-x^{n+1}}{n+1},$$

z .egf $\frac{e^t-1}{t}\; e^{xt}$, jest również definiowana przez odwrócenie kompozycji umbralnej

$$B_n(\hat{B}.(x)) = x^n = \hat{B}_n(B.(x)),$$

więc

  1. własność derywacyjna wielomianów Appella Bernoulliego

$$ \frac{(B_.(x)+1)^{n+1}}{n+1} - \frac{(B.(x))^{n+1}}{n+1} = \frac{(b.+x+1)^{n+1} - (b.+x)^{n+1}}{n+1}$$

$$ = \frac{B_{n+1}(x+1) - B_{n+1}(x)}{n+1} = \hat{B}_n(B.(x)) = x^n = D \; \frac{x^{n+1}}{n+1},$$

  1. wzajemna zależność definiujących egf momentów odwrotnej pary ciągów wielomianów Appella

$$B(t) =e^{b.t}= \frac{t}{e^t-1},$$

$$\hat{B}(t) = e^{\hat{b}.t}=\frac{e^t-1}{t}, $$

  1. wzajemność podwójnych operacji

$$T= B(D) = \frac{D}{e^D-1} = e^{b.D},$$

$$T^{-1}= \hat{B}(D) = \frac{e^D-1}{D} = e^{\hat{b}.D},$$

  1. podwójny wielomian generujący właściwości ops

$$T \; x^n = \frac{D}{e^D-1} \; x^n = e^{b.D} \; x^n = (b. + x)^n = B_n(x), $$

$$ T^{-1} \; x^n = \frac{e^D-1}{D} \; x^n = e^{\hat{b.}D} x^n = (\hat{b.}+x)^n = \hat{B}_n(x),$$

  1. odwrotna zależność kompozycyjna umbralna podwójnych zbiorów wielomianów

$$ B_n(\hat{B}.(x)) = T^{-1} \; T \; x^n = x^n = T \; T^{-1} \; x^n = \hat{B}_n(B.(x)),$$

  1. oraz właściwość dyskretyzująca operatora Todda

$$ x^n = T \; T^{-1} x^n = T \; \int_{x}^{x+1} t^n \; dt$$

$$ = T \frac{(x+1)^{n+1} - x^{n+1}}{n+1}$$

$$ =\frac{(B.(x)+1)^{n+1} -(B.(x))^{n+1}}{n+1} = \hat{B}_n(B.(x))$$

wszystkie są ściśle (i produktywnie) ze sobą powiązane, są różnymi aspektami dwoistości Appella i mogą być uogólnione poprzez transformację Mellina.

To nie jest cała historia - relacje przebiegają jeszcze głębiej przez algebrę Weyla, komutator Gravesa / Lie / Pincherle'a i operacje drabinowe - ale ta perspektywa już prowadzi do owocnej dalszej eksploracji. Na przykład otrzymujemy do rozruchu w limicie jako$n \to +\infty$ dla sumy dyskretyzującej zmodyfikowana funkcja zeta Hurwitza jako uogólnienie (interpolacja) wielomianów Bernoulliego,

$$ B_{-s}(x) = s \; \zeta(s+1,x),$$

który dziedziczy właściwości sekwencji Appella wielomianów.


Równanie „cienia” jest nieco restrykcyjne, ponieważ zakłada FT $f(x)$istnieje, co nie jest warunkiem koniecznym, aby właściwość dyskretyzująca miała zastosowanie; np. zwróć uwagę na podobną formułę Abel-Plany z transformacji Laplace'a .

Z inną normalizacją dla FT,

$$FT(f(x)) = \tilde{f}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i 2\pi \omega x} f(x) \; dx,$$

i

$$f(b.+x) = e^{b.D_x} f(x) = \frac{D_x}{e^{D_x}-1} \; f(x) = \frac{D_x}{e^{D_x}-1} FT^{-1}[\tilde{f}(\omega)]$$

$$ = \frac{D_x}{e^{D_x}-1} \; \int_{-\infty}^{\infty} e^{i 2\pi \omega x} FT[f(x)] \; d\omega = \int_{-\infty}^{\infty} e^{i 2\pi \omega x} \frac{i 2\pi \omega}{e^{i 2\pi \omega}-1} FT[f(x)] \; d\omega. $$

Charakteryzując działanie operatora Todda przy użyciu raczej interpolacji transformaty Mellina a la Ramanujan / Hardy, podaje alternatywną, konstruktywną drogę do funkcji zeta Hurwitza:

$$ B_{-s}(z) = (B.(z))^{-s} = (b.+z)^{-s} = e^{b.D_z} \; z^{-s}$$

$$ = e^{b.D_z} \int_{0}^{\infty} e^{-zt} \; \frac{t^{s-1}}{(s-1)!} \; dt$$

$$ = \int_{0}^{\infty} e^{-(b.+z)t} \; \frac{t^{s-1}}{(s-1)!} \; dt$$

$$ =\int_{0}^{\infty} e^{-B.(z)t} \; \frac{t^{s-1}}{(s-1)!} \; dt $$

$$ = \int_{0}^{\infty} \frac{-t}{e^{-t}-1} \; e^{-zt} \frac{t^{s-1}}{(s-1)!} \; dt = s \; \zeta(s+1,z).$$

Szeregowe rozszerzenie funkcji Appell Bernoulli dla wszystkich rzeczywistych lub złożonych $s$ i rzeczywiste lub złożone $z$ z $|z-1| < 1$ jest podana przez rozwinięcie dwumianu umbralnego

$$s \; \zeta(s+1,z) = B_{-s}(z)$$

$$ = (b.+z)^{-s} = (b. + 1 - 1 + z)^{-s} = (B.(1)+z-1)^{-s}$$

$$ = \sum_{n \geq 0} \binom{-s}{n} B_{-s-n}(1) \; (z-1)^n = \sum_{n \geq 0} \binom{-s}{n} (s+n) \; \zeta(s+n+1) \; (z-1)^n$$

gdzie

$$(b.+1)^{-s} = (B.(1))^{-s} = B_{-s}(1) = s \; \zeta(s+1,1) = s \; \zeta(s+1)$$

z $\zeta(s)$, funkcja zeta Riemanna.