jak det (A) = 0 oznacza, że ​​rozwiązanie nie jest unikalne? [duplikować]

Question

Rozwiązanie równania macierzowego Ax = b, gdzie $$ A=\left(\begin{matrix} a_1&a_2&\dots&a_n \end{matrix}\right), \ a_i \in \mathbb{R}^n,$$

nie jest unikalny, jeśli wektory $$ a_1, \ a_2, \dots, \ a_n $$są zależne liniowo. Następnie przez właściwości wyznacznika,$$ \det A=0. $$Jednak czy zawsze wynika z tego, że jeśli det A = 0, wektory kolumnowe A są liniowo zależne? Czy ktoś może przedstawić dowód?

Answer 1

Jeden możliwy dowód:

• Załóżmy, że kolumny są liniowo niezależne.
• Konwertuj macierz do postaci rzutu kolumnowego, zaczynając od ostatniej kolumny i cofając się.
• Wiesz, że liczba liniowo niezależnych kolumn to liczba niezerowych kolumn, które otrzymasz. Jednak, jak założyłeś, że kolumny są niezależne, nie ma żadnych kolumn.
• Innymi słowy, otrzymałeś trójkątną macierz ze wszystkimi niezerowymi elementami na przekątnej. Jego wyznacznik jest niezerowy.
• Jednak elementarne transformacje, których używamy podczas przekształcania macierzy w postać rzędów / kolumn, nie zmieniają właściwości przekątnej na zero lub niezerowe.
• Zatem wyznacznik był różny od zera na początku.

Answer 2

Jeśli wszystko w pierwszej kolumnie $0$jest jasne. W przeciwnym razie rozważ wiersz z pierwszym elementem$\ne 0$. Przenieś go, aby stał się pierwszym rzędem. Wyznacznik jest nadal$0$, system jest odpowiednikiem poprzedniego. Teraz zmniejsz wszystkie elementy w pierwszej kolumnie, niżej niż w pierwszym rzędzie. Determinant nadal$0$, system nadal jest równoważny. Teraz spójrz na macierz utworzoną przez usunięcie pierwszego wiersza i kolumny. Wyznacznikiem jest$0$. Zastosuj indukcję, znajdź niezerowe rozwiązanie$(x_2, \ldots, x_n)$. Teraz użyj oryginalnego pierwszego równania, aby uzyskać$x_1$. Teraz mamy niezerowe rozwiązanie całego systemu.