Jak formalnie zapisać przestrzeń euklidesową za pomocą symboli?
Spacja to uporządkowana krotka, w której pierwszy element jest zbiorem, a kolejne elementy opisują dodaną strukturę, np. $(X, m)$ dla przestrzeni metrycznej, $(X, \tau)$dla przestrzeni topologicznej. Jakie są następujące elementy przestrzeni euklidesowej?
O ile rozumiem, potrzebujemy
- $X=\mathbb R^n$ jest zbiorem wszystkich n-krotek liczb rzeczywistych (z $n\in\mathbb N$)
- potrzebujemy elementów $X$ być wektorami - tak liniowo możliwymi do łączenia z mnożeniem przez skalar $\times$, pole $F$ i dodatek $+$.
- iloczyn skalarny $\cdot$ między elementami $X$.
- norma dla elementów $X$. Czy jest to nieodłącznie zawarte w iloczynu skalarnym, czy też muszę to wyraźnie określić, aby było precyzyjne? Nie potrzebuję dodatkowego "$-$"? http://faculty.cord.edu/ahendric/2008Fall210/subsub.pdf sugeruje, że jest to również uwzględnione w „$+$”.
- kompletność $X$ (czy jest to nieodłącznie związane z faktem, że $X=\mathbb R^n$?)
- metryka (myślę, że jest to również nieodłącznie zawarte w normie i fakcie, że elementy $X$ są wektorami, prawda?)
Z tego wnioskuję, że jest to przestrzeń euklidesowa $(\mathbb R^n, \cdot, +, F, \times)$. Prawdopodobnie potrzebuję też „$-$”.
A więc: Jak formalnie zapisać przestrzeń euklidesową za pomocą symboli?
Odpowiedzi
W swoim pytaniu zapisałeś już przestrzeń euklidesową: $\mathbb{R}$.
Jedyną inną rzeczą, o której mogę pomyśleć, którą warto uwzględnić, są dane. Mówić$(\mathbb{R},d)$ jest przestrzenią metryczną i definiuje d, czyli odległość dowolnych dwóch punktów.
Jest kilka aksjomatów, o których należy pamiętać w przypadku metryk:
$d(x,x)=0$
$d(x,y)>0$
$d(x,y)=d(y,x)$
$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ (nazywany nierównością trójkąta; pomyśl o trójkącie prostokątnym i idź po przekątnej, aby dotrzeć do miejsca, w którym musisz iść)
Istnieje wiele wskaźników, które moglibyśmy zdefiniować dla takiej przestrzeni $\mathbb{R^2}$, prawdziwy samolot; najczęstsza istota$\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$
EDYTOWAĆ:
Przypuszczam, że musisz nauczyć się jakiejś topologii. Iloczyn kartezjański jest tylko jednym z przykładów bardziej ogólnej koncepcji, jaką są przestrzenie produktowe. W topologii omawiamy ciągłość i zbiory otwarte (nie wszystkie są tak samo zdefiniowane). Mówić$X,Y$ to przestrzenie topologiczne, a zbiór, $U_{X_i}$ i $V_{Y_i}$ są otwarte w swoich odpowiednich topologiach.
Definiujemy topologię w przestrzeni produktu $X\,\,x\,\, V$po prostu mówiąc, że „dziedziczy” topologię pozostałych dwóch przestrzeni. Podzbiór$X\,\,x\,\, V$ jest otwarty, jeśli tylko wtedy $U\subset X$ i $V\subset Y$są otwarte. Odnosi się to dokładnie w ten sam sposób do naszych standardowych przestrzeni metrycznych, ale zamiast tego przestrzeń produktowa odziedziczy metrykę, co można uznać za dające nam wyobrażenie o tym, czym jest „otwarte”!