Jak intuicyjnie zrozumieć $n$-wymiarowy sześcian w miarę zwiększania się wymiaru [duplikat]

Dec 20 2020

Czytałem więc * to dla wypukłego korpusu, czyli sześcianu$[-1,1]^n$ w $\mathbb{R}^n$, najmniejsza zawierająca ją kulka ma promień$\sqrt{n}$, podczas gdy największa kula wewnątrz sześcianu ma promień$1$.

Również,

„… wraz ze wzrostem wymiaru sześcian coraz mniej przypomina piłkę”.

Jak wizualizuję te rzeczy, kiedy $n\geq 4$? Po prostu tego nie widzę!

Byłoby wspaniale, gdybym mógł uzyskać pomoc związaną z intuicją. Dzięki!

* Patrz strona 2 z

Keith Ball, „Podstawowy wstęp do nowoczesnej geometrii wypukłej” w Flavours of Geometry , Silvio Levy ed., Cambridge 1997.

Edycja: Chociaż sugerowane odpowiedzi są bardzo dobre, nie sądzę, aby odnosiły się do konkretnej struktury geometrycznej, o którą chodzi w moim pytaniu.

Odpowiedzi

2 PrudiiArca Dec 20 2020 at 16:15

Dlaczego myślisz, że możemy wizualizować wyższe kostki i kule? Dla$n=4$ możesz grać w gry, takie jak używanie suwaka czasu, aby narysować punkt przecięcia obiektu z $xyz$-płatowiec, ale dla $n>4$ tego rodzaju hacki bardzo szybko staną się niedostępne.

Intuicja tyle faktów, takich jak te, które cytujesz, ale nie jest intuicja obliczeń . W pewnym sensie matematyka buduje się wokół naszej intuicji dla przestrzeni 2, 3, a może nawet 4-wymiarowej, przez co mam na myśli, że większość definicji naśladuje coś w tych niskowymiarowych światach. Jednak definicje są znacznie bardziej ogólne, ponieważ wymiar jest nieistotny, więc równie dobrze możemy spróbować dowiedzieć się, co robią w wyższych wymiarach (myśląc o rozmaitościach). Szkoda na pewno, że nie widzimy, co się tam dzieje, bo na pewno wszystko się psuje. Rozmaitości stają się nie do wygładzenia lub mają wiele wyraźnych gładkich struktur, wyniki klasyfikacji są niemożliwe do uzyskania, a kule stają się spiczaste, a obliczeniowo zaczynają wyglądać i zachowywać się raczej obco. Aby podać jeden przykład: hipoteza Poincarego była jednym z problemów tysiąclecia (tj. Znajdowała się na tym samym poziomie trudności co hipoteza Riemanna lub$P$ vs $NP$) i był o $3$-kule. Wyższa geometria jest trudna .

Z drugiej strony to cała zabawa z matematyką abstrakcyjną. Intuicyjne definicje zaczerpnięte z niewielkiego zbioru przykładów wkrótce okazują się mieć bardziej egzotyczne, ale interesujące przykłady, co czyni definicję jeszcze ciekawszą i wartą przestudiowania.