jak udowodnić, że segment $IF=HF+GF$

Question

$AE$ i $CD$ są dwusiecznymi kąta $\triangle ABC$. $F$ to dowolny punkt w sieci $DE$. Udowodnij to$GF+HF=IF$.

Zauważyłem $3$cykliczne czworoboki. Jakieś pomysły. Oto zdjęcie

Answer 1

Weź pod uwagę współrzędne trójliniowe (https://en.wikipedia.org/wiki/Trilinear_coordinates) najpierw w przypadku, gdy $F$ jest wewnątrz trójkąta $ABC$.

$D$ i $E$będąc stopami bissektorów kątowych, mają odp. współrzędna trójliniowa.$(1,1,0)$ i $(0,1,1)$. Dlatego trójliniowe równanie linii prostej$DE$ jest:

$$\begin{vmatrix}1&0&x\\1&1&y\\0&1&z\end{vmatrix}=0 \ \ \iff \ \ x-y+z=0\tag{0}$$

Interpretacja $(x=FG,y=FH,z=FI)$otrzymujemy:

$$FG+FI-FH=0\tag{1}$$

( co nie jest podanym związkiem! )

Teraz jeśli $F$ nie znajduje się wewnątrz trójkąta $ABC$, oto inne przypadki:

• W przypadku przedstawionym na podanym rysunku ($F$ "tylko na zewnątrz" $[DE]$ po stronie $E$), tylko jedna z trójliniowych współrzędnych, $FG$, przechodzi zmianę znaku; zatem (1) staje się:

$$\color{red}{-}FG+FI-FH=0\tag{2}$$

co tym razem sprowadza się do danego związku !

Jeżeli w przypadku podanej liczby $F$ jest daleko, następuje druga zmiana znaku, teraz dla odległości ze znakiem $FH$, przekształcając (2) w:

$$-FG+FI\color{red}{+}FH=0\tag{3}$$

co jest trzecią formułą.

• jeśli wręcz przeciwnie, $F$ znajduje się poza segmentem linii $[D,E]$ ale z boku $D$, musimy się zmienić $FI$ w swoje przeciwieństwo w (1), zwracając związek (3).

Uwaga na temat zależności (0): uzyskaliśmy go, opracowując stałą multiplikatywną; jest to nieważne, ponieważ mamy do czynienia z relacjami mającymi zero po prawej stronie.