Jaka dodatnia liczba całkowita $n$ maksymalizuje funkcję $f(n) = \sigma_0(n)/n$?
Rozmawialiśmy z przyjacielem, która podstawa byłaby najlepsza. Twierdziłem, że 12 byłoby najlepsze, ponieważ ma najwięcej dzielników w stosunku do swojej wielkości. Jednak nie jestem pewien, czy 12 jest faktycznie liczbą, która maksymalizuje ten stosunek. Aby to zbadać, sformalizowałem moją obserwację, twierdząc, że 12 maksymalizuje funkcję$f(z) = \sigma_0(z)/z$ gdzie $\sigma_0(n) = \sum_{d|n} d^0$ jest funkcją, która liczy dzielniki $n$. Znalazłem kilka artykułów i kilka interesujących właściwości$\sigma_0$ale nic, czego nie mogłem użyć do udowodnienia tej właściwości. Nie jestem zbyt zaznajomiony z tego typu rzeczami, więc nie byłem pewien, jak się do tego zabrać.
Czy ktoś ma pomysł, jak można to udowodnić? W tej chwili wydaje się, że formuła, która byłaby najbardziej użyteczna, byłaby taka$$\sigma_o(n) = \Pi_{i = 1}^{\omega(n)}(1 - a_i)$$ gdzie $\omega(n)$ jest liczbą różnych czynników pierwszych $b$ po to aby $n = \Pi_{i = 1}^{\omega(n)}p_i^{a_i}$.
Z góry dziękuję!
EDYCJA: Myśląc o tym trochę więcej, wydaje się, że 12 zdecydowanie nie maksymalizuje tego. Na przykład 6 ma 4 dzielniki, a 12 ma 6 z nich. Jak zauważył również komentator, 3 ma 2 dzielniki. Wydaje się jednak, że najlepsze jest 2 z dwoma dzielnikami. Gdyby$\sigma_0(n) = n$, to dla wszystkich $m \leq n$, mielibyśmy to $m|n$. Oznaczałoby to, że każda liczba pierwsza jest mniejsza niż$n$ byłby uwzględniony w głównym rozkładzie $n$. To dość silna właściwość, która, jak podejrzewam, ma tylko 2.
Odpowiedzi
Najpierw zauważ to $\displaystyle \frac{\sigma_0(n)}{n} = \prod_p \frac{\alpha_p+1}{p^{\alpha_p}}$ gdzie $\alpha_p \ge 0$.
Ale $\displaystyle\frac{\alpha_p+1}{p^{\alpha_p}} < 1$ dla wszystkich prime $p$ i wszystkich $\alpha >0$ z jedynym wyjątkiem $p = 2$ i $\alpha = 1$, co oznacza, że maksimum jest osiągane, gdy wszystkie pliki $\alpha$są $0$ ($n = 1$) lub kiedy wszystkie oprócz $\alpha_2$ są $0$ i $\alpha_2 = 1$ (n = 2).
Z tej odpowiedzi wiemy, że
$$\sigma_0(n)\leq n^{\frac{1.0660186782977...}{\log \log n}}<n^{ \frac{2}{\log \log n}}$$
(z równością w $n=6983776800$). To implikuje to
$$\frac{\sigma_0(n)}{n}<n^{ \frac{2}{\log \log n}-1}$$
Teraz łatwo to zobaczyć $n\geq 1619$ mamy
$$\frac{2}{\log \log n}-1<0$$
Następnie dla $n\geq 1619$ wiemy
$$\frac{\sigma_0(n)}{n}<n^{ \frac{2}{\log \log n}-1}<n^0=1$$
Ale
$$\frac{\sigma_0(1)}{1}=\frac{\sigma_0(2)}{2}=1$$
Teraz musimy tylko sprawdzić wszystkie liczby całkowite $3\leq n\leq 1618$. Można je łatwo sprawdzić i dochodzimy do wniosku, że funkcja jest zmaksymalizowana na$n\in\{1,2\}$.
EDYCJA: Jeśli chcesz sprawę $n\geq 3$, to w podobny sposób, jak to widzimy $n\geq 2880$ mamy
$$n^{\frac{2}{\log \log n}-1}<\frac{3}{4}$$
Następnie po sprawdzeniu wszystkich liczb całkowitych $5\leq n\leq 2879$ możemy wywnioskować, że funkcja jest zmaksymalizowana na $n=4$ gdzie
$$\frac{\sigma_0(4)}{4}=\frac{3}{4}$$