Jednostkowa transformacja kwantowa

Question

W mechanice kwantowej wiemy $\dot{\psi}=-\frac{i}{\hbar}H\psi$,

ale dlaczego tak jest $U\dot{\psi}=-\frac{i}{\hbar} \left(UHU^\dagger \right) U\psi$?

Czy to znaczy $UHU^\dagger = H$? Myślę$UU^\dagger H = H$, ale dlaczego możemy tutaj zmienić kolejność macierzy?

Answer 1

Za dużo się nad tym zastanawiasz, zakładając $U$ jest jednolity:

$$ U\dot\psi= -\frac{i}{\hbar} UH\psi=-\frac{i}{\hbar} UH\mathbb 1\psi= -\frac{i}{\hbar} UHU^\dagger U\psi.$$

$U$ nie musi być operatorem ewolucji czasu i nie musi z nim dojeżdżać $H$aby to zadziałało, może to być dowolna jednostka. To tylko mówienie, że jeśli piszesz$\psi$w innej podstawie ewoluuje wraz z Hamiltonianem zapisanym w nowej podstawie. (Lub równoważnie, że obrócony wektor ewoluuje z obróconym hamiltonianem).

Answer 2

1. Jeśli hamiltonian $\hat{H}$ nie zależy od czasu i $U$ ma być więc operatorem ewolucji w czasie $$\hat{U}~=~\exp\left(-\frac{i}{\hbar}\hat{H}\Delta t\right),\tag{A}$$ który dojeżdża$^1$ z $\hat{H}$więc to $$UHU^{\dagger} ~=~ H,\tag{B}$$por. Pytanie OP.

2. Jeśli hamiltonian $\hat{H}$zależą od czasu, a następnie eq. (A) i (B) wymagają modyfikacji, por. np. ten post Phys.SE.

-

$^1$ Funkcja $f(\hat{H})$ z $\hat{H}$ dojeżdża z $\hat{H}$, por. np. to i to posty Phys.SE.

Answer 3

user2723984 jest poprawna. Jednak druga część twojego pytania pozostaje nierozwiązana: jeśli Hamiltonian dojeżdża ze sobą o różnych porach, to jedyny operator w$U$ jest $H$ i jako $H$ dojeżdża ze sobą, kolejność operatorów może wtedy ulec zmianie.