Jeśli dwie zmienne losowe $X_1$oraz $X_2$są zależne, to muszą $X_1^2$oraz $X_2^2$być zależnym?

Question

Jeśli dwie zmienne losowe$X_1$oraz$X_2$są wtedy zależne$X_1^2$oraz$X_2^2$być zależnym.

Uważam, że to stwierdzenie jest fałszywe. Biorąc pod uwagę, że$X_1$oraz$X_2$bycie zależnym oznacza

$\sigma(X_1)$jest zależny od$\sigma(X_2)$czyli algebry sigma generowane przez każdy rv są zależne, ale ponieważ$\sigma(X_1^2)\subset \sigma(X_1)$oraz$\sigma(X_2^2)\subset \sigma(X_2)$redukcja może potencjalnie prowadzić do niezależnych algebr sigma.

Kontrprzykład, który wymyśliłem, to:

wynajmować:

$X_1\sim \text{Unif}(0,1)$oraz$$ X_2|X_1 = \begin{cases} 1 & X_1\in[0,\frac{1}{2})\\ -1 & X_1\in[\frac{1}{2},1]\\ \end{cases}$$

Zauważ, że te dwie zmienne losowe są wysoce zależne, ale gdy podniosę obie do kwadratu$X_1\sim \frac{1}{2\sqrt{x_1}}$oraz$X_1|X_1=1$zatem dwie kwadratowe zmienne losowe są niezależne. Czy ten kontrprzykład brzmi?

Answer 1

Twój kontrprzykład działa, myślałem odkąd$X_2^2$jest stała nie jest zbyt odkrywcza, ponieważ jest niezależna od wszystkiego

Innym może być posiadanie$A$oraz$B$niezależnie norma normalna (średnia$0$, wariancja$1$) oraz

$X_1=A$podczas gdy$X_2=\text{sign}(A)\, |B|$.

Następnie$X_1$oraz$X_2$są dodatnio skorelowanymi rozkładami normalnymi, podczas gdy$X_1^2$oraz$X_2^2$są niezależnymi rozkładami chi-kwadrat