Jest $x$ element algebraiczny nad ciałem funkcji wymiernych $K(x)^p$?
Pytaniem jest $x \in K(x)$ element algebraiczny nad ciałem $K(x)^p$?
Edycja: niech $K$ być polem z char ($K)=p>0$ i pozwól $K(x)$ być polem funkcji racjonalnych $K$.
Moja próba: zasadniczo próbowałem odpowiedzieć na to, odnosząc się do:
Pole $K (x)$ funkcji racjonalnych $K$, element $x$ nie ma $p$th root.
Załóżmy, że jest inaczej $x$ jest algebraiczne $K(x)^p$, a więc $x$ jest korzeniem niektórych $p$-degree wielomian taki, że; $(\frac{f(x)}{g(x)})^p -x = 0$
$f(x)^p=g(x)^p * x$
Tutaj widzimy sprzeczność, ponieważ stopnie $f(x)^p= deg(f(x)*p)$ i $g(x)^p*x = \deg(g(x)*p+1)$.
Jestem w tym kompletnie zagubiony, korzystam z 4. edycji Abstract Algebra autorstwa Beachy i prawie nie ma wzmianki o dziedzinie racjonalności. Wszelkie wskazówki i być może sugestie dotyczące zasobów, w których mógłbym dowiedzieć się więcej na temat racjonalności, byłyby bardzo mile widziane, dzięki!
Odpowiedzi
$x$ w rzeczywistości jest algebraiczne $K(x)^p$ (zwróć uwagę na komentarze do pytania, potrzebujemy tylko tego $x^p\in K(x)^p$. Myślę, że może to być dla ciebie mylące, w którym pierścieniu próbujemy znaleźć wielomiany, które mają$x$jako root. Aby obejść ten problem notacji, zadzwońmy$F:=K(x)^p$.
Teraz $x$ jest algebraiczne $F$ jeśli jest jakiś wielomian $g\in F[Y]$ św $g(x)=0$. Spójrzmy na wielomian$g=Y^p-x^p$. Wiemy to$x^p\in F$, więc $g\in F[Y]$. Oczywiście też$g(x)=x^p-x^p=0$, więc $x$ jest algebraiczne $F$.
Zakładam, że przez cały ten czas masz na myśli $K$ mieć charakterystykę $p>0$. Być może rzuca cię taka możliwość$K$ nie jest doskonały, w takim przypadku $\bigl(K(x)\bigr)^p$ jest inny niż $K(x^p)$. Nie martw się jednak: dla naszych celów to nie ma znaczenia.
Rozważmy twoje pole $\mathscr L=\bigl(K(x)\bigr)^p$, w którym znajduje się element $x^p$. Nazwę ten element$t$. Zauważamy, że istnieje izomorfizm pola$\varphi:K(x)\to\mathscr L$, przez $\varphi(f)=f^p$. I obraz elementu$x$ z $K(x)$ jest $t\in\mathscr L$; tak jak$x$ nie ma $p$-th root in $K(x)$, więc $t$ nie ma $p$-th root in $\mathscr L$. Więc$\mathscr L$-wielomian $X^p-t$ jest nieredukowalny ($\dagger$). Ma kopię zapasową katalogu głównego$K(x)$, choć mianowicie $x$. I oto jesteś.
($\dagger$) Wykorzystałem fakt, że na polu $k$ charakterystyczny $p$, $X^p-b$ albo ma korzeń $k$ czy jest $k$-nieskracalny.