Kategoryczny odpowiednik zwartego Hausdorffa
Niedawno, dzięki temu zagadnieniu mathoverflow, zdałem sobie sprawę z artykułu Codensity i monada ultrafiltracji autorstwa Toma Leinstera. Tam pokazuje, że ultrafiltrowa monada w kategorii$\mathrm{Set}$ wynika z połączenia $$ \mathrm{Set} \rightleftarrows \mathrm{Fun}(\mathrm{FinSet}, \mathrm{Set})^{\mathrm{op}},$$gdzie lewy sprzężony jest określony przez osadzanie koYonona (że ma prawy sprzężenie wynika albo z konstrukcji, albo z twierdzenia o sprzężonym funktorze). Ponadto wiadomo, że kategoria zwartych przestrzeni Hausdorffa jest monadyczna$\mathrm{Set}$ i że odpowiednia monada jest również monadą ultrafiltracyjną, wykazując kategorię zwartych przestrzeni Hausdorffa jako algebr ponad tą monadą.
Przeprowadzka do $\infty$-kategorie, zastąpienie jest naturalne $\mathrm{Set}$ przez $\infty$-Kategoria $\mathcal{S}$przestrzeni (lub animae, jak to nazywają niektórzy). Ma to pod-$\infty$-Kategoria $\mathcal{S}^{\mathrm{fin}}$skończonych przestrzeni (tj. najmniejsza, skończona współkategoria zawierająca punkt). Korzystając z osadzania coYoneda i twierdzenia o funktorze sprzężonym, ponownie otrzymujemy sprzężenie$$\mathcal{S}\rightleftarrows \mathrm{Fun}(\mathcal{S}^{\mathrm{fin}}, \mathcal{S})^{\mathrm{op}}.$$Czy można opisać powstałą monadę i algebry nad nią? Czy to znane$\infty$-Kategoria? Co więcej, można zapytać o jego stosunek do innych$\infty$-kategorie, takie jak zwarte przestrzenie lub przestrzenie skondensowane.
Edycja: Jak wskazali Denis i Dustin, zastąpienie jest znacznie bardziej naturalne $\mathrm{FinSet}$ przez $\infty$-kategoria $\pi$-skończone spacje (zamiast $\mathcal{S}^{\mathrm{fin}}$), czyli przestrzenie, których grupy homotopii są skoncentrowane w nieskończenie wielu stopniach i są tam skończone.
Odpowiedzi
To dobre pytanie! Myślę, że Barwick i Haine dużo więcej o tym przemyśleli i może już znają odpowiedź? To, co powiem poniżej, jest im na pewno znane. Uważaj również, że napisałem poniższe w strumieniu świadomości, nie bardzo wiedząc, dokąd to pójdzie, kiedy zacząłem.
Napiszę "anima" dla tego, co nazywamy różnie typami homotopii / spacjami /$\infty$-groupoids / ... i oznacz ich $\infty$-Kategoria $\mathrm{An}$($=\mathcal S$). Możemy również rozważyć$\infty$-Kategoria $\mathrm{CondAn}=\mathrm{Cond}(\mathrm{An})$anima skondensowana (to zresztą także animacja kategorii zbiorów skondensowanych). Jeśli$X\in \mathrm{CondAn}$ jest więc skondensowaną animą $\pi_0 X$ jest zbiorem skondensowanym i dla dowolnego punktu $x\in X$można zdefiniować grupy homotopii $\pi_i(X,x)$ dla $i\geq 1$, które są grupami skondensowanymi (abel od nazwy $i\geq 2$). Nieco bardziej ogólnie, jeśli$S$ jest dowolnym zestawem profinite i $g: S\to X$ to dowolna mapa, można zdefiniować obiekt grupowy $\pi_i(X,g)\to S$ w skondensowanych zestawach $S$, którego włókno jest większe niż jakiekolwiek $s\in S$ jest $\pi_i(X,g(s))$. Wtedy mapa skondensowanej animi jest równoważnością wtedy i tylko wtedy, gdy wywołuje równoważność$\pi_0$ i wszystkich $\pi_i$ dla $i\geq 1$ (we wszystkich punktach bazowych, w tym doskonale rozwiniętych rodzinach punktów bazowych).
Tak więc, tak jak w bardzo prymitywnym przybliżeniu anima $X$ jest czymś w rodzaju kolekcji $\pi_0 X,\pi_1 X,\pi_2 X,\ldots$ze zbioru, grupy i grup abelowych, skondensowana anima jest czymś w rodzaju zbioru skondensowanego zbioru, skondensowanej grupy i skondensowanych grup abelowych. W szczególności już$\pi_0 X$może być interesującą przestrzenią topologiczną, taką jak rozmaitość, a więc przestrzeń. Dlatego nie mówimy o „przestrzeni skondensowanej”, bo wtedy wydawałoby się, że zapomnienie o zbiorach skondensowanych powinno zapomnieć o strukturze „przestrzeni”, a raczej o strukturze „abstrakcyjnej homotopii”.
Teraz następujące wydaje się oczywiste "$\infty$-kategoryzowane zwarte przestrzenie Hausdorffa ":
Definicja. Skondensowana anima$X$ to „kompaktowy Hausdorff”, jeśli $\pi_0 X$ i wszystkich $\pi_i X$ dla $i\geq 1$ są kompaktowe Hausdorffa.
Przypomnij sobie, że zwarte przestrzenie Hausdorffa są w pełni wiernie osadzone w skondensowanych zbiorach. Drugie stwierdzenie oznacza dokładniej, że dla wszystkich zestawów profinite$S$ z mapą $g: S\to X$, obiekt komunikacyjny $\pi_i(X,g)\to S$ w skondensowanych zestawach $S$jest kompaktowy Hausdorff. (Jest to trochę silniejsze niż samo zapytanie o wszystkie włókna).
Więc w tym przypadku $\pi_0 X$ to zwarta przestrzeń Hausdorffa, $\pi_1 X$ jest zwartą grupą Hausdorffa, i $\pi_2 X,...$ są zwartymi grupami abelowymi Hausdorffa.
Okazuje się, że istnieje ładna charakterystyka skondensowanej animy „zwartej Hausdorffa”. W rzeczywistości istnieje ogólne pojęcie toposu-teoretyki obiektów „koherentnych” = „qcqs”. Zwykle jest to badane$1$-topoi, ale łatwo się uogólnia $n$-topoi. Zasadniczo obiekt jest quasi-kompaktowy, jeśli jakakolwiek osłona dopuszcza skończoną podokrywa; jest quasi-oddzielony, jeśli przekątna jest quasi-zwarta; jest on 2-quasi-oddzielony, jeśli przekątna jest quasi-oddzielona; itp.; and coherent = quasicompact and$n$-quasiseparated dla wszystkich $n\geq 1$. Zatem spójne zbiory skondensowane to dokładnie zwarte przestrzenie Hausdorffa, a:
Propozycja. Spójna, skondensowana anima to właśnie „zwarta Hausdorffa” skondensowana anima.
Uwaga: w $1$-topos, spójne obiekty często zgadzają się z przedmiotami skończonymi, ale to dramatycznie zawodzi $\infty$-topoi, gdzie spójność i skończona prezentacja to dwa zupełnie różne warunki skończoności. W przypadku anima koherencja oznacza skończone grupy homotopii, podczas gdy skończona prezentacja powinna oznaczać wygenerowaną pod skończonymi kolimitami z punktu; to są bardzo różne pojęcia. Jak już omówiono w komentarzach, warunek „skończonych grup homotopii” wydaje się bardziej odpowiedni dla pytania.
Teraz mamy dobre pojęcie o „$\infty$- kategorycznie zwarte przestrzenie Hausdorffa ". Pytanie zaczęło się jednak z innego punktu widzenia, mianowicie jako próba opisania go za pomocą monady o anima. Dobra wiadomość jest taka:
Propozycja. Zwarte, skondensowane anima Hausdorffa są monadyczne nad animą.
Można to wywnioskować z Barr-Beck-Lurie, chociaż wymaga to trochę pracy.
Pozostaje zrozumieć monadę (i zobaczyć, czy można ją opisać jako monadę współgęstości). Monada bierze animę$X$ do $\lim_{X\to Y} Y$ gdzie diagram znajduje się nad wszystkimi mapami $X$ do zwartej, skondensowanej animy Hausdorffa $Y$: Oblicza żądane lewe połączenie. Załóżmy na chwilę, że kategoria diagramu była mała; wtedy ta granica jest nadal zwartą, skondensowaną animą Hausdorffa: zwarta skondensowana anima Hausdorffa jest stabilna we wszystkich małych granicach, ponieważ jest stabilna w skończonych granicach i wszystkich małych produktach. Teraz kategoria diagramów nie jest tak naprawdę mała, więc należy argumentować nieco ostrożniej, aby zobaczyć istnienie lewego sprzężonego.
Jeśli $X$jest właściwie zbiorem, to można pokazać, że lewy sprzęg jest nadal taki sam, jak zwykle, nadany przez ugniatanie Stone-Čech. To jest to samo co$\lim_{X\to Y} Y$ gdzie ograniczamy $Y$być skończonym zbiorem. Ostatecznie możliwość ograniczenia$Y$ do zbiorów skończonych - wynika to z faktu, że zagęszczenie Stone-Čecha jest całkowicie odłączone, a całkowicie odłączone zwarte przestrzenie Hausdorffa są pro-skończone - umożliwia opisanie zwartych przestrzeni Hausdorffa w kategoriach monady współgęstości dla $\mathrm{FinSet}\hookrightarrow \mathrm{Set}$.
Pierwszy interesujący nowy przypadek to $X=K(G,1)$, dla jakiejś odrębnej grupy $G$. Ignorując wyższe grupy homotopii, interesuje nas wtedy uniwersalna grupa zwarta$H$ z mapą $G\to H$. Na ogół jest to znane jako „zagęszczanie Bohra”$G$. Jeśli$G=\mathbb Z$, następnie szukamy wolnej grupy kompaktowej na jednym generatorze. Jest to z konieczności abelowe, a następnie można użyć dualności Pontrjagina, aby to określić (mam nadzieję, że tego nie schrzaniłem):$\prod_{\mathbb R/\mathbb Z}\mathbb R/\mathbb Z$, iloczyn $\mathbb R/\mathbb Z$ (jako dyskretny zestaw) wiele kopii koła $\mathbb R/\mathbb Z$, z jej tautologicznym elementem „diagonalnym”, i weźmy zamkniętą podgrupę wygenerowaną przez ten element.
To, co widzimy na przykładzie, to już anima $X=K(\mathbb Z,1)$ (aka koło), monada przyjmuje niezwykle skomplikowaną wartość (zauważ, że ignorowaliśmy wyższe grupy homotopii, ale obliczenie $\pi_1$jest poprawna), która w szczególności sama w sobie nie jest całkowicie odłączona i nie może być zapisana jako granica skończonej anima. Więc rozumiem, że te „$\infty$kategoryczne zwarte przestrzenie Hausdorffa ”nie mogą być opisane w sposób, w jaki zaczęło się pytanie.
To znowu nasuwa pytanie, jakie są algebry dla monady w pytaniu!
Cóż, nie znam dokładnej odpowiedzi, ale można też rozważyć „całkowicie odłączony kompaktowy Hausdorff” skondensowaną animę, pytając teraz, że wszystko $\pi_i X$są całkowicie odłączone kompaktowy Hausdorff. Więc$\pi_0 X$ to bogaty zbiór, $\pi_1 X$ jest bardzo dochodową grupą i $\pi_2 X,\ldots$ są wygórowanymi grupami abelowymi.
Propozycja. „Całkowicie odłączony kompaktowy Hausdorff skondensowany$n$-truncated anima ”są odpowiednikiem kategorii Pro $n$- skrócona anima ze skończonymi grupami homotopii.
Można też przejść do granic możliwości $n\to \infty$w pewnym sensie, ale trzeba być ostrożnym, ponieważ nie prowadzi to dokładnie do przejścia do kategorii Pro. Nadal jest prawdą, że każda całkowicie odłączona, zwarta, skondensowana anima Hausdorffa$X$ odwzorowuje izomorficznie do $\lim_{X\to Y} Y$ gdzie $Y$ przebiega nad animą ze skończonymi grupami homotopii.
Teraz całkowicie odłączona, zwarta anima skondensowana Hausdorffa nie jest już monadyczna w stosunku do anima, ale zapominalski funktor nadal wykrywa izomorfizmy i ma lewy łącznik, co daje początek monadzie na animie, a całkowicie odłączona zwarta anima skondensowana Hausdorffa osadza wiernie w algebrach ponad ta monada. I tę monadę, w ostatnim akapicie, można utożsamić z monadą współgęstości do włączenia$\mathrm{An}^{\mathrm{coh}}\hookrightarrow \mathrm{An}$ spójnej anima (= anima o skończonych grupach homotopii) do wszystkich animów.
Tak więc, jeśli tego nie schrzanię, to kategoria algebr nad tą monadą jest czymś w rodzaju kadłuba całkowicie odłączonej, zwartej animy skondensowanej Hausdorffa (łącznie ze wszystkimi realizacjami geometrycznymi, które są podzielone na leżącą poniżej animę); kadłub ten jest zawarty w zwartej, skondensowanej anima Hausdorffa.
Podsumowując, jeśli weźmie się w pytaniu „skończoną animę” jako „skończone grupy homotopii”, wówczas powstaje monada, której algebry znajdują się gdzieś pomiędzy całkowicie odłączoną, zwartą animą skondensowaną Hausdorffa, a wszystkimi zwartymi animami skondensowanymi Hausdorffa. Myślę, że zdecydowanie obejmują one wszystkie, dla których$\pi_0 X$ jest arbitralnie zwartym Hausdorffem, ale $\pi_i X$ dla $i\geq 1$ jest całkowicie odłączony.
Hmm ... OK, pozwól mi zrobić co następuje:
Hipoteza: Algebry nad monadą współgęstości dla $\mathrm{An}^{\mathrm{coh}}\hookrightarrow \mathrm{An}$ są dokładnie tymi zwartymi, skondensowanymi animami Hausdorffa $X$ dla których wszystko $\pi_i X$ dla $i\geq 1$ są całkowicie odłączone.
Jestem skłonny przypuszczać to z następującego powodu: podczas gdy można otrzymać wszystkie zwarte przestrzenie Hausdorffa jako iloraz zbiorów profinitycznych przez zamknięte relacje równoważności, nic takiego nie dzieje się w przypadku grup: iloraz grupy profinit przez zamkniętą relację równoważności jest nadal bogata grupa.