Kiedy jest stożek $C(X)$ na lokalnie zwartej przestrzeni?
Na tym forum jest kilka pytań dotyczących szczególnych przypadków tego pytania, na przykład to dla$X = \mathbb Z$i to dla$X = \mathbb R$. Moje pytanie brzmi
Jakie są konieczne i wystarczające warunki $X$ które zapewniają lokalną zwartość stożka $C(X) = (X \times I)/(X \times \{1\})$?
Odpowiedź może zależeć od precyzyjnej definicji zwięzłości lokalnej. Oto dwa warianty:
$X$ jest lokalnie zwarty, jeśli każdy $x \in X$ ma zwartą dzielnicę.
$X$ jest lokalnie zwarty, jeśli każdy $x \in X$ ma podstawę sąsiedztwa w postaci zwartych zestawów.
Oczywiście 2. jest silniejsze niż 1. Jeżeli zakłada się, że „kompaktowy” obejmuje „Hausdorffa”, to 1. i 2. są równoważne. To samo dotyczy Hausdorffa$X$ niezależne od interpretacji słowa „kompaktowy”.
Zachęcamy czytelnika do skorzystania z jego ulubionej interpretacji.
Oczywistym warunkiem wystarczającym jest:
Jeśli $X$ jest więc zwarta $C(X)$ jest zwarty, a zatem lokalnie zwarty w znaczeniu 1. Jeśli $X$ jest więc zwarty Hausdorff $C(X)$ jest zwarty Hausdorffa, a zatem lokalnie zwarty w znaczeniu 2.
Podobnie oczywistym warunkiem koniecznym jest:
Jeśli $C(X)$ jest więc lokalnie zwarta $X$ jest lokalnie zwarty.
W rzeczywistości, $X$ jest homeomorficzny w stosunku do podstawy $X \times \{0\}$ z $C(X)$ który jest zamknięty $C(X)$, a więc lokalnie zwarty.
Jeśli $X$ jest lokalnie zwarta, to wyraźnie jest otwartą podprzestrzenią $C(X) \setminus \{*\} \approx X \times [0,1)$ jest lokalnie zwarty, gdzie $*$ jest końcówka $C(X)$, tj. wspólna klasa równoważności punktów w $X \times \{1\}$.
Wydaje mi się, że niekompaktowy $X$nie może mieć lokalnie zwartego stożka. Powód jest taki, że jeśli$C(X)$ jest więc lokalnie zwarta $*$musi mieć zwartą dzielnicę. Potrafię wykazać częściowy wynik (zobacz moją odpowiedź na własne pytanie). Ale interesuje mnie, czy istnieje bardziej ogólne twierdzenie.
Odpowiedzi
Oto częściowa odpowiedź.
Pozwolić $X$być normalną (włączając Hausdorffa) policzalnie parakompaktową przestrzenią. Wtedy równoważne są następujące:
$X$ jest kompaktowy.
$C(X)$ jest kompaktowy.
$C(X)$ jest lokalnie zwarty.
Dotyczy to wszystkich parakompaktowych przestrzeni Hausdorffa $X$, w szczególności do wszystkich metrizowalnych $X$.
Równoważność 1. i 2. jest oczywista, a 2. implikuje 3. Pozostaje pokazać, że 3. implikuje 1. Naszą strategią jest osadzenie $X$ jako zamknięty podzbiór zwartego sąsiedztwa końcówki $*$ z $C(X)$. Nastąpi to poprzez przesunięcie podstawy$X \times \{0\}$ z $C(X)$ w kierunku $*$.
Pozwolić $U$ być otwartym sąsiedztwem $*$ w $C(X)$ z kompaktowym zamknięciem $K \subset C(X)$. Jeśli$p : X \times I \to C(X)$ oznacza więc mapę ilorazów $V = p^{-1}(U)$ jest otwartym sąsiedztwem $X \times \{1\}$ w $X \times I$. Dla każdego$x \in X$ pozwolić $f(x) = \inf\{ t \in I \mid \{x \} \times [t,1] \subset V \}$. Wyraźnie$0 \le f(x) < 1$ dlatego $V$jest otwarte. co więcej$\{x \} \times (f(x),1] \subset V$. Funkcja$f$ jest górna półciągła: Let $f(x) < r$. Wybierać$t$ takie że $f(x) < t < r$. Następnie$\{x \} \times [t,1] \subset V$ a zatem istnieje otwarta dzielnica $W_x$ z $x$ w $X$ takie że $W_x \times [t,1] \subset V$. Następnie$f(y) \le t < r$ dla $y \in W_x$. Od$f(x) < 1$ dla wszystkich $x$ i funkcja stała $1$ jest niższa półciągłą, twierdzenie, które zostało udowodnione niezależnie przez Dowkera (patrz „O policzalnych przestrzeniach parakompaktowych”. Canadian Journal of Mathematics 3 (1951): 219-224 / Theorem 4) i przez Katetova (patrz „O funkcjach o wartościach rzeczywistych w topologii spacje. "Fund. Math. 38 (1951): 85-91 / Twierdzenie 2) mówi, że istnieje ciągłość $h : X \to \mathbb R$ taki $f(x) < h(x) < 1$ dla wszystkich $x$. Definiować$H : X \to C(X), H(x) = p(x,h(x))$. To jest osadzanie: w rzeczywistości ograniczenie$\bar p : X \times [0,1) \stackrel{p}{\to} C(X)$ jest osadzaniem i $\bar h : X \to X \times [0,1), \bar h(x) = (x,h(x))$, jest osadzaniem. Co więcej,$H(X)$ jest zamknięty $C(X)$ i $\bar h(X) \subset V$, więc $H(X) \subset U \subset K$. Kończymy to$H(X)$jest kompaktowy. W związku z tym$X$ jest kompaktowy.
Aktualizacja:
Powyższe twierdzenie mówi, że normalna (w tym Hausdorffa) policzalna przestrzeń parakompaktowa $X$ który nie jest zwarty, nie może mieć lokalnie zwartego stożka.
W szczególnym przypadku Urządzony$\sigma$-kompaktowy lokalnie kompaktowy Hausdorff $X$ możemy podać alternatywny dowód, który nie używa powyższego "twierdzenia o kanapce" dla funkcji półciągłych górnej i dolnej.
Więc pozwól $C(X)$ być lokalnie zwarte, $U$ być otwartym sąsiedztwem $*$ w $C(X)$ z kompaktowym zamknięciem $K \subset C(X)$ i $V = p^{-1}(U)$ który jest otwartym sąsiedztwem $X \times \{1\}$ w $X \times I$.
Mamy $X = \bigcup_{n=1}^\infty K_n$ z kompaktowym $K_n \subset X$ takie że $K_n \subset \operatorname{int}K_{n+1}$. Istnieje otwarte$W_n \subset X$ i $t_n \in (0,1)$ takie że $K_n \times \{1\} \subset W_n \times (t_n,1] \subset V$. Wlog możemy założyć, że sekwencja$(t_n)$nie maleje. Zauważ, że$s_n = (1+t_n)/2$ jest zawarty w $(t_n,1)$. Pozwolić$B_n = \operatorname{bd} K_n$ który jest zwarty (ale prawdopodobnie pusty; w tym przypadku $K_n$jest clopen). Zestawy$C_n = K_n \setminus \operatorname{int}K_{n-1}$ są zwarte i zawierają rozłączny zbiór $B_n$ i $B_{n-1}$ (formalnie ustaliliśmy $K_0 = \emptyset$). Budujemy indukcyjnie ciągłe$f_n : C_n \to I$ w następujący sposób: Dla $n=1$ pozwolić $f_1(x) = s_2$. Dany$f_1,\ldots, f_n$ takie że $f_i(x) = s_i$ dla $x \in B_{i-1}$, $f_i(x) = s_{i+1}$ dla $x \in B_i$ i $f_i(x) \in [s_i,s_{i+1}]$ dla wszystkich $x \in C_i$ do znalezienia używamy twierdzenia Urysohna $f_{n+1} : C_{n+1} \to I$ takie że $f_{n+1}(x) = s_{n+1}$ dla $x \in B_n$, $f_{n+1}(x) = s_{n+2}$ dla $x \in B_{n+1}$ i $f_{n+1}(x) \in [s_{n+1},s_{n+2}]$ dla wszystkich $x \in C_{n+1}$. Zbiór tych wszystkich$f_n$, $n \in \mathbb N$, można wkleić do pliku ciągłego $f : X \to I$ posiadanie tej własności $(x,f(x)) \in V \setminus X \times \{1\}$. W rzeczywistości dla$x \in C_n$ mamy $f(x) = f_n(x) \in [s_n,s_{n+1}] \subset (t_n,1)$ a zatem $(x,f(x)) \in C_n \times (t_n,1) \subset W_n \setminus X \times \{1\} \subset V \setminus X \times \{1\}$. Według konstrukcji$X' = \{(x,f(x)) \mid x \in X \}$ jest zamkniętym podzbiorem $C(X)$ który jest homeomorficzny do $X$ i będąc zamkniętym podzbiorem $K$, kompaktowy.