Konieczna weryfikacja dowodu i zrozumienie

Nov 28 2020

Użyj wyniku ćwiczenia 1, aby udowodnić, że A jest nieskończone, a B skończone, a B jest skończonym podzbiorem A, to A \ B jest nieskończone

Ćwiczenie 1 Niech A, B będą rozłącznymi zbiorami skończonymi. i A≈m. a więc B≈n. A ∪ B ≈ m + n. Wniosek, że suma dwóch skończonych zbiorów jest skończona.

Uwaga : problem pochodzi z książki o teorii mnogości autorstwa Pintera

Próba dowodu (Caveat Lector: niech czytelnik się strzeże ... Moja wiedza o nieskończonym zestawie jest chwiejna, mogę użyć indukcji i mapowania)

Udowodniłem ćwiczenie 1. (Całkowite przepisanie)

Napisz A = (A \ B)$\cup$ B (1)

Za pomocą $A \cup B $ z ćwiczenia 1 otrzymujemy A \ B = ($A\cup B)\cap B^{c}$ (2)

Teraz przypuśćmy, że A ma policzalny podzbiór B i A jest skończony; to znaczy A ≈ n, B ⊆ A i B ≈ ω. Szloch$\subset$(A \ B)$\cup$ B.

A \ B nie może być skończone, ponieważ A jest nieskończone Jeśli a$\in$A \ B, a następnie a$\in B^{c}$ następnie $B^c$ jest nieskończony, co jest sprzecznością, ponieważ B jest skończone

Stąd A / B jest nieskończone

Wsparcie

Odpowiedzi

PaulSinclair Nov 29 2020 at 19:32

Kilka rzeczy:

$A\setminus B = \{x \in A: x \notin B\}$. A zatem$$A\setminus B = A\cap B^\complement$$ Nie ma powodu do zjednoczenia wszystkich elementów $B$ zanim usuniesz je przez przecięcie z $B^\complement$.
Wydedukujesz

$A\setminus B= ((A\setminus B)\cup B)\cup B)\cap B^\complement$

Więc $A\setminus B$ i $B$ są rozłączne.

Każdy argument, za pomocą którego można uzyskać ”$A\setminus B$ i $B$ są rozłączne "od $A\setminus B= ((A\setminus B)\cup B)\cup B)\cap B^\complement$ działałby znacznie łatwiej na podstawie twojego oświadczenia (2): $A\setminus B= (A\cup B)\cap B^\complement$. Albo jeszcze łatwiej z (zakładam, że jest to definicja, którą podaje Pinter$A\setminus B$): $A\setminus B = A\cap B^\complement$. Wyraźnie szedłeś w złym kierunku i najwyraźniej po prostu postanowiłeś to udawać, mając nadzieję, że twój czytelnik będzie równie zagubiony i założysz, że faktycznie coś zademonstrowałeś.

Że $A\setminus B$ i $B$są rozłączne jest czymś tak oczywistym, że wątpliwe jest, czy w ogóle trzeba było to wykazać. Zgodnie z definicją konstruktora zestawów, którą podałem, można to udowodnić, zauważając to$x \in A\setminus B \implies x \notin B$dlatego nie ma $x$ który jest w obu $A\setminus B$ i $B$. Jeśli nalegasz na dowód "mnogości algebraiczny", to$$(A\setminus B) \cap B = (A \cap B^\complement)\cap B = A\cap(B^\complement\cap B) = A\cap\varnothing = \varnothing$$

Nie śledzisz własnych założeń:

A teraz przypuśćmy, że $A$ ma policzalny podzbiór $B$ i $A$jest skończony ; to jest,$A \approx n, B \subseteq A$, i $B \approx \omega$. Więc$B\subset (A\setminus B)\cup B$.

$A\setminus B$nie może być skończone, ponieważ A jest nieskończone ...

Co więcej, nie wykorzystujesz żadnego z powyższych elementów w dalszej części swojej argumentacji, więc dlaczego o nich wspomniałeś? Jedyne, czego użyłeś, to to$A$ jest nieskończony, co jest hipotezą twierdzenia.

Gdyby $a\in A\setminus B$ następnie $a\in B^\complement$ następnie $B^\complement$ jest nieskończony, co jest sprzecznością od tego czasu $B$ jest skończona.

Zakładam, że to pokazujesz $A\setminus B \subseteq B^\complement$, co rzeczywiście by implikowało $B^\complement$jest nieskończona (zakładając, że zostało już udowodnione, że klasa z nieskończoną podklasą jest sama w sobie nieskończona). Ale$B^\complement$ bycie nieskończonym w żaden sposób nie zaprzecza $B$bycie skończonym. W rzeczywistości dopełnienie każdego skończonego zbioru jest nieskończone. Uzupełnienia zbiorów nie są zbiorami w teorii mnogości Pintera. Są to klasy właściwe, a klasy właściwe są zawsze nieskończone.

Jeśli chcesz skorzystać z ćwiczenia 1, aby to udowodnić, potrzebny jest dowód sprzeczności. Ale to, co próbujesz udowodnić, to „$A\setminus B$ jest nieskończona ", więc założenie, które musisz przyjąć, jest odwrotne:"$A\setminus B$ jest skończona ". Kiedy dochodzisz do sprzeczności, oznacza to, że założenie, które do niej doprowadziło, jest fałszywe, a jeśli"$A\setminus B$ jest skończony "jest fałszywy, to jego przeciwieństwo"$A\setminus B$ jest nieskończony ”będzie prawdziwy.