Krótka sztuczka, aby znaleźć liczbę podgrup Sylow p w grupach permutacji. [duplikować]

Question

Wiem, $|S_4 |=24 =2^3\cdot3$.

Więc tutaj kolejność sylow $2$ podgrupa to $8$ a za trzecim twierdzeniem syla możemy powiedzieć liczbę syla $2$ podgrupy to $1$ lub $3$. Następnie znajdując sylow$2$ podgrup wyraźnie możemy stwierdzić, że jego $3$. Ale tutaj znamy również liczbę lochów$3$ podgrupy to $1$ lub $4$.

Moje pytanie brzmi: czy możemy znaleźć dokładną liczbę loch $2$ i $3$ podgrup bez jawnego obliczania podgrup sylow, po prostu przez zliczanie elementów podgrup, bo czasami potrzebujemy tylko dokładnej liczby podgrup sylow?

Answer 1

Przypuszczać $S_4$ posiada unikalny Sylow $2$-powiedz podgrupy $K$. Według drugiego twierdzenia Sylowa,$K$ musi być normalny w $S_4$. Ale$S_4$ nie ma żadnej normalnej podgrupy porządku $8$(Zobacz tutaj ). Dlatego liczba Sylow$2$-podgrupy w $S_4$ musi mieć trzy lata.