Liczba sposobów przypisywania wyników

Question

Test składający się z $12$ pytania są punktowane $200$zwrotnica. Na ile sposobów$200$ punkty zostaną przyznane, jeśli każde pytanie musi być warte co najmniej $10$ punktów, ale nie więcej niż $25$ a wyniki muszą być wielokrotnością $5$?

Myślę o możliwym połączeniu z powtórzeniami. $15$ punkty ($80/5$) poza $12$pytania. Ale nie wiem, jak zastosować maksymalne ograniczenie$25$.$3$ do każdego pytania $\frac{25-10}{3}$.

Ale może to też nie być połączenie z powtórzeniem, ponieważ interpretuję to stwierdzenie w ten sposób, że nie ma znaczenia, czy pierwsze pytanie jest warte $30$ punktów, a druga jest warta $10$, czyli na odwrót. Rozumiem, że ten konkretny przykład to wyjątkowy sposób, prawda?

Answer 1

Ponieważ każdy wynik musi być wielokrotnością $5$, możemy równie dobrze podzielić wszystkie wartości punktowe przez $5$ i mają $12$ pytania o łącznej wartości $40$ punktów, przy czym każde pytanie jest warte przynajmniej $2$ i co najwyżej $5$zwrotnica. Jeśli$p_k$ jest wartością punktową $k$-te pytanie, szukamy ilości rozwiązań do

$$\sum_{k=1}^{12}p_k=40\tag{1}$$

w liczbach całkowitych $p_k$ spełniający warunek, że $2\le p_k\le 5$ dla $k=1,\ldots,12$. Pozwolić$x_k=p_k-2$ dla $k=1,\ldots,12$; następnie liczba rozwiązań do$(1)$ z zastrzeżeniem określonego ograniczenia jest taka sama jak liczba rozwiązań do

$$\sum_{k=1}^{12}x_k=16$$

w nieujemnych liczbach całkowitych $x_k$ spełniający warunek, że $x_k\le 3$ dla $k=1,\ldots,12$. Gdyby nie górna granica liczb$x_k$, byłby to standardowy problem z gwiazdami i słupkami i byłby$\binom{16+12-1}{12-1}=\binom{27}{11}$z nich. Niestety wiele z tych rozwiązań narusza górną granicę jednej lub kilku liczb$x_k$, więc $\binom{27}{11}$to znaczne przeszacowanie. Aby to poprawić, będziesz musiał wykonać obliczenia włączenia-wykluczenia. Moja odpowiedź na to pytanie zawiera takie obliczenia; spróbuj użyć go jako wzoru do rozwiązania problemu.

Answer 2

Ponieważ wszystkie wyniki są wielokrotnością $5$ możemy przez to podzielić, w wyniku czego $40$ suma punktów i punktacja pytań od $2$ do $5$zwrotnica. Ponieważ każde pytanie musi być przynajmniej$2$ punktów, możemy myśleć o pytaniach jako o podtrzymaniu $24$ „punkty bazowe”, pozostawiając problem z tym, ile sposobów jest do dystrybucji $16$ „dodatkowe punkty” do $12$ pytania bez pytania o więcej niż $3$ z nich.

Jako problem z funkcją generowania jest to $x^{16}$ współczynnik $(1+x+x^2+x^3)^{12}$. Okazuje się, że odpowiedź brzmi$1501566$.