Maksima i minima $\frac{x^2-3x+4}{x^2+3x+4}$ bez rachunku różniczkowego

Question

Jak znaleźć minimalne i maksymalne wartości $y=\frac{x^2-3x+4}{x^2+3x+4}$ dla wszystkich rzeczywistych wartości $x$ bez rachunku różniczkowego?

Być może można to zrobić graficznie, zauważając fakt, że licznik i mianownik są parą paraboli symetrycznych względem $x$ oś, ale nie wiem jak kontynuować.

Dzięki!

Answer 1

Niech maksimum $f(x) = \frac{x^2-3x+4}{x^2+3x+4}$ być $m$. Następnie:

$$x^2-3x+4 = mx^2 + 3mx + 4m$$ $$(m-1)x^2 + (3m+3)x + (4m - 4) = 0$$

Chcemy, aby to równanie miało tylko jeden prawdziwy pierwiastek (podwójny pierwiastek), więc: $$\Delta = 0 \Rightarrow (3m+3)^2-4(m-1)(4m-4) = 0.$$

Podobny proces dla minimum ($n$) daje to samo równanie, po pomnożeniu go przez $-1$ nie zmienia wartości $m$. Dlatego zarówno wartości maksymalne, jak i minimalne są podane przez to równanie.

Answer 2

$$\dfrac{x^2-3x+4}{x^2+3x+4}=1-\dfrac{6x}{x^2+3x+4}=1-\dfrac6{x+\dfrac4x+3}$$

Teraz jeśli $x>0, x+\dfrac4x\ge2\sqrt{x\cdot\dfrac4x}=4$

$\implies\dfrac1{x+\dfrac4x+3}\le\dfrac17\implies-\dfrac6{x+\dfrac4x+3}\ge-\dfrac67$

Gdyby $x<0, x=-y, y>0, x+\dfrac4x=-\left(y+\dfrac4y\right)$

Możesz to stąd zabrać?

Answer 3

Wskazówka wehave $$\frac{x^2-3x+4}{x^2+3x+4}=y$$ $$x^2(y-1)+x(3y+3)+4y-4=0$$ustaw dyskryminację większą lub równą zeru

Answer 4

Nie sprecyzowali, że nie wolno używać rachunku różniczkowego, ale byłem ciekawy, czy można to rozwiązać w prostszy sposób - Monocerotis 20 listopada o 8:19

dzięki stary, uratowałeś mnie przed dużym zróżnicowaniem i podmianami - Monocerotis 20 listopada o 8:46

Najprostszym sposobem rozwiązania problemu jest użycie rachunku różniczkowego:

Stosując zasadę ilorazu , otrzymujesz:$y'(x)=(\frac{x^2-3x+4}{x^2+3x+4})'=\frac{(2x-3)(x^2+3x+4)-(2x+3)(x^2-3x+4)}{(x^2+3x+4)^2}$.

Po postawieniu warunku $y'(x)=0$ i rozszerzając licznik $y'(x)$otrzymujesz:

$x^2-4=0$, których rozwiązania to:

$x_1=2$ i $x_2=-2$.

Podsumowując:

$y_{max}=7$ (dla $x=-2$) i $y_{min}=\frac{1}{7}$ (dla $x=2$).