Maksymalna względna entropia między stanem a jego marginesami

Aug 16 2020

tło

Względna entropia kwantowa jest definiowana dla dowolnych stanów kwantowych $\rho, \sigma$ tak jak

$$D(\rho\|\sigma) = tr(\rho\log\rho) - tr(\rho\log\sigma)$$

Do dowolnego wyboru $\rho,\sigma$, względna entropia kwantowa może przyjąć dowolną wartość nieujemną. Rozważmy stan dwustronny$\rho_{AB}$ i niech pozostaną marginesy $\rho_A$ i $\rho_B$. Jeśli weźmiemy pod uwagę$D(\rho_{AB}\|\rho_A\otimes\rho_B)$, mamy wzajemne informacje. Co więcej, mamy to

$$D(\rho_{AB}\|\rho_A\otimes\rho_B) \leq \min(2\log|A|, 2\log|B|)$$

Pytanie

Jednokrotnym analogiem względnej entropii jest maksymalna względna entropia i jest zdefiniowana jako

$$D_{\max}(\rho \| \sigma)=\inf \left\{\lambda \in \mathbb{R}: 2^{\lambda} \sigma \geq \rho\right\},$$

gdzie $A\geq B$ jest używany do oznaczenia tego $A-B$jest dodatnia, częściowo skończona. Podobnie jak zwykła entropia względna, maksymalna entropia względna może również przyjąć dowolną wartość nieujemną. Jeśli teraz rozważę$D_{\max}(\rho_{AB}\|\rho_A\otimes\rho_B)$, czy istnieje górna granica maksymalnej wartości, jaką może przyjąć?

Uważam, że odpowiedź brzmi tak od przypadku $+\infty$ jest wykluczony ze względu na wsparcie $\rho_{AB}$ zawarte we wsparciu $\rho_A\otimes\rho_B$ ale nie mogliśmy znaleźć ograniczenia.

Odpowiedzi

1 Daniel Aug 26 2020 at 08:24

$\renewcommand{ket}[1]{\left| #1 \right\rangle}$ Stan, który nasyca związaną z wzajemną informacją, jest $$\rho_{AB} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} \ket{a_i}\ket{b_i} $$ gdzie $N = \min(|A|,|B|)$ i $\{\ket{a_i}\}, \{\ket{b_i}\}$ są podstawą $A,B$odpowiednio. Intuicyjnie, ten stan maksymalizuje entropię marginesów, zachowując$A$ i $B$ doskonale skorelowane.

Ten stan daje $I_{\max} = \log_2(N)$. Nie udowodniłem, że jest to górna granica, ale wydaje się, że jest to dobre miejsce na rozpoczęcie.