Mój proces za pokazanie tego $K[[x]]$ nad polem jest lokalny pierścień.
Oto pytanie, na które chcę odpowiedzieć na list $(b)$ w tym:
Pierścień przemienny $R$ jest lokalna, jeśli ma unikalny maksymalny ideał $\mathfrak{m}.$ W tym przypadku mówimy $(R, \mathfrak{m})$to lokalny pierścień. Na przykład, jeśli$R$ jest więc polem $(R,(0))$ jest pierścieniem lokalnym, ponieważ jedynym właściwym ideałem pola jest $(0).$
$(a)$ Pozwolić $(R, \mathfrak{m})$być lokalnym pierścieniem. Pokazują, że$R^* = R\setminus \mathfrak{m}.$
$(b)$ Pokaż to na polu $K,$ $R = K[[x]]$ to lokalny pierścień.
Podpowiedź: Według części $(a),$ $\mathfrak{m} = R\setminus R^{*}$ i wiesz co $R^*$ jest.
Moje pytania to:
Znam już dowód na list $(a).$ Również wcześniej dokładnie to udowodniłem:
Jeśli $R$ być integralną domeną i niech $R[[x]]$ być więc odpowiednim pierścieniem formalnej serii potęg $R[[x]]$jest domeną integralną. i$R[[x]]^*$ składa się z serii $\sum_{n \geq 0}a_{n}x^n (a_{n} \in R)$ takie że $a_{0} \in R^*.$
I mam następującą wskazówkę, aby rozwiązać moje pytanie:
Podpowiedź: Według części $(a),$ $\mathfrak{m} = R\setminus R^{*}$ i wiesz co $R^*$ jest.
1-Ale nie rozumiem, jak go używać. Czy ktoś mógłby mi pokazać, jak mogę skorzystać z tej wskazówki?
Zrozumiałem też, że powinienem to udowodnić $K[[x]]$ ma unikalny maksymalny ideał.
I zgodnie ze wskazówką podaną tutaj przez Artura:
Zbiór formalnych serii potęg nad polem jest pierścieniem lokalnym? który jest:
„Wskazówka: weź element z niezerowym elementem stałym i skonstruuj jawną odwrotność, stopień po stopniu (lub przynajmniej pokaż, że można to zrobić, znajdując pierwsze trzy lub więcej wyrazów odwrotności i wskaż, że kontynuuj w nieskończoność) .To to pokazuje $(x)$ jest jedynym maksymalnym ideałem. "
Powinienem skonstruować jawną odwrotność elementu $x$ z niezerową wartością stałą i będzie to jedyny maksymalny ideał $<x>$.
2-nie wiem, jaka jest dosłownie postać tego ideału i nie wiem, jak udowodnić, że jest to jedyny ideał maksymalny, czy ktoś mógłby mi pokazać dowód na to?
Oto mój szczegółowy dowód na $R[[x]]^*$ składa się z serii $\sum_{n \geq 0}a_{n}x^n (a_{n} \in R)$ takie że $a_{0} \in R^*.$
Pozwolić $R$ domena całkowa (przemienny pierścień dzielący bez zerowych dzielników) i niech $R[[x]]$być odpowiednim pierścieniem formalnej serii potęg. to znaczy$$\displaystyle R[[x]]=\left\{\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n\;\middle\vert\; a_n\in R\right\}$$ Z dodawaniem i mnożeniem zgodnie z definicją dla wielomianów.
\ textbf {Po pierwsze: pokazuję, że jeśli $a_0\in R$ jest więc jednostką $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$ to jednostka w $R[[x]]$}
Pozwolić $a=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\in R[[x]]$, gdzie $a_0$jest jednostką. Chcemy coś zbudować$b=\sum_{n=0}^\infty b_nx^n\in R[[x]]$ takie że $ab=1$lub po rozwinięciu, $$ab=a_0b_0+(a_1b_0+a_0b_1)x+\cdots=1+0x+0x^2+\cdots \quad \quad (1)$$ Dlatego potrzebujemy $b_0=a_0^{-1}$ (Odwołaj to $a_0$jest jednostką podaną). Chcemy mieć$a_1b_0+a_0b_1=0$, więc nasz jedyny wybór dla $b_1$ jest $$b_1=\frac{-a_1b_0}{a_0}=-a_1a_0^{-2}.$$Chcemy też $a_2b_0+a_1b_1+a_0b_2=0$więc musimy mieć $$b_2=\frac{-a_2b_0-a_1b_1}{a_0}=-a_2a_0^{-2}+a_1^2a_0^{-3}.$$ Tak więc, aby znaleźć rekurencyjną definicję $b_{n}$ użyjemy definicji mnożenia w pierścieniu formalnych szeregów potęg, mamy to $$\sum_{n = 0}^{\infty}a_n x^n . \sum_{n = 0}^{\infty}b_n x^n = \sum_{n\geq 0} (\sum_{i=0}^{n} a_{i} b_{n-i})x^n = a_{0}b_{0} + (a_{0}b_{1} + a_{1}b_{0})x + \cdots + (\sum_{i=0}^{k}a_i b_{k-i}) x^k + \cdots .$$ Teraz potrzebujemy tutaj naszego problemu $ab = 1,$ to znaczy $$ a_{0}b_{0} + (a_{0}b_{1} + a_{1}b_{0})x + \cdots + (\sum_{i=0}^{k}a_i b_{k-i}) x^k + \cdots = 1, $$ Potrzebujemy więc wszystkich wyrazów z wyjątkiem stałego, aby zniknęły.
Załóżmy, że dla jakiejś liczby naturalnej $n,$ wiemy, że współczynniki $b$ są różne od zera do $(n-1),$ a później $n^{th}$ współczynnik $ab$wynosi zero. Więc możemy pisać$$0 = a_{0}b_{n} + a_{1}b_{n-1} + \cdots + a_{n-1}b_{1} + a_{n}b_{0},$$Lub równoważnie $$ a_{0}b_{n} = -( a_{1}b_{n-1} + \cdots + a_{n-1}b_{1} + a_{n}b_{0}),$$W związku z tym, $$ b_{n} = \frac{-1}{a_{0}}( a_{1}b_{n-1} + \cdots + a_{n-1}b_{1} + a_{n}b_{0}) = \frac{-1}{a_{0}} (\sum_{i=1}^n a_{i} b_{n-i}). $$I to jest relacja rekurencyjna opisująca współczynniki $b_{n}$ z $b$ to sprawi $b$ odwrotność $a.$
\ textbf {Po drugie: pokazuję, że jeśli $a = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$ to jednostka w $R[[x]]$ następnie $a_0\in R$ jest jednostką}
Zakładać, że $a = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$ to jednostka w $R[[x]]$ i chcemy to pokazać $a_0\in R$ jest jednostką.
Od $a$ jest więc jednostką $\exists b = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}b_n x^n\in R[[x]]$ takie że $ab =1.$ Ale to oznacza, że $(a_0 + a_1 x+\cdots)(b_0 + b_1 x+ \cdots)=1+0x+\cdots$ więc $a_0b_0+ (a_1b_0+a_0 b_1)x+\cdots=1+0x+\cdots$ w związku z tym $a_0b_0=1$ i stąd $a_{0}$ jest jednostką zgodnie z wymaganiami.
Odpowiedzi
Korzystając ze swojej podpowiedzi, $M=K[[x]]\setminus K[[x]]^*$jest kandydatem do jedynego ideału maksymalnego. Teraz,$M$jest zbiorem formalnych szeregów potęgowych o stałym członie równym zero. Oznacza to, że Twoje elementy w$M$ mieć formę $$a=a_1x+a_2x^2+\cdots=x(a_1+a_2x+\cdots)=xb,$$ więc są w ideale generowanym przez $x$, który jest oznaczony przez $(x)$. Tak właściwie,$M=(x)$. Ten ideał jest maksymalny, ponieważ iloraz$K[[x]]/(x)=K$ jest polem (możesz myśleć o ilorazie jako pierścieniu $K[[x]]$ pod warunkiem, że $x=0$, więc masz $K$. Innym sposobem, aby to zobaczyć, jest skorzystanie z mapy oceny$e_0:K[[x]]\rightarrow K$ która przyjmuje formalną serię potęgi i ocenia ją na $0$. To jest homomorfizm z jądrem$(x)$). Wreszcie każdy ideał (maksymalny lub nie), który nie jest całym pierścieniem, nie ma elementów odwracalnych, to znaczy jest zawarty w$M$. W związku z tym,$M$ jest jedynym maksymalnym ideałem.