Momenty liczby dzielników ograniczonych przedziałami

Dec 31 2020

Wcześniej zadałem pytanie Obcięta funkcja dzielnika, gdzie suma jest sumą$$ S_f(x)=\sum_{n\leq x} \min\{f(x),d(n)\}\quad (1) $$ wzbudził zainteresowanie, a odpowiedź była zadowalająca.

Tutaj interesuje mnie oszacowanie następującej ilości $$ S_a(x,m)=\sum_{n\leq x} \#\{d: d|n~\mathrm{and}~d\leq m\}^a $$ więc dzielniki mają ograniczony rozmiar lub są ograniczone do przedziału $[1,m]$ nie w `` numerze '' jak w (1).

Gdy $a=1,$ jest to proste (jeśli chodzi o uzyskanie głównego członu), ponieważ sumę można oszacować poziomo $$ S_1(x,m)=\sum_{d\leq m} \lfloor x/d \rfloor=\left[\sum_{d\leq m} \frac{x}{d}\right]+O(m)=x \log m + O(m), $$ i zazwyczaj interesują mnie stosunkowo małe wartości $m$ pod względem $x$.

Co powiesz na $a\neq 1$? W szczególności,$a=1/2,$ lub $a=2,3,$ itd. Jak oszacować te kwoty?

Odpowiedzi

1 SungjinKim Jan 01 2021 at 12:19

Przyjmujemy $m\leq x$. Twój$S_1(x,m)$ Jest w rzeczywistości, $x\log m + O(m)$.

Ta odpowiedź zawiera oszacowanie $S_2(x,m)$.

$$ \begin{align} S_2(x,m)&=\sum_{n\leq x} \left(\sum_{d|n, d\leq m} 1 \right)^2=\sum_{d_1\leq m, d_2\leq m} \sum_{n\leq x, [d_1,d_2]|n}1\\ &=\sum_{d_1\leq m, d_2\leq m} \frac x{[d_1,d_2]}+O(m^2), \end{align} $$ gdzie $[d,u]=\mathrm{lcm}(d,u)$.

Aby znaleźć oszacowanie pierwszej sumy, niech $[d_1,d_2]=d_1d_2/(d_1,d_2)$ gdzie $d=(d_1,d_2)=\mathrm{gcd}(d_1,d_2)$, piszemy $d_1=dk$, $d_2=dl$ z $(k,l)=1$. Aby ustalić$(k,l)=1$używamy tożsamości $\sum_{d|n}\mu(d) = \delta_1(n)$, gdzie $\delta_1(n)=1$ gdy $n=1$, $0$Inaczej. Następnie$k=uv$, $l=uw$więc to $d_1=duv$, $d_2=duw$, $[d_1,d_2]=dkl=du^2vw$. Następnie

$$ \begin{align} \sum_{d_1\leq m, d_2\leq m} \frac1{[d_1,d_2]}&= \sum_{duv\leq m, duw\leq m} \frac{\mu(u)}{du^2vw} \\ &=\sum_{u\leq m}\sum_{d\leq m/u} \frac{\mu(u)}{du^2} \sum_{v\leq m/du, w\leq m/du} \frac1{vw} \\ &=\sum_{u\leq m}\sum_{d\leq m/u} \frac{\mu(u)}{du^2} \left( \log^2(m/du) + O(\log m)\right)\\ &=\sum_{u\leq m}\sum_{d\leq m/u}\frac{\mu(u)}{du^2}\left(\log^2m-2\log m\log du+\log^2 du\right)\\ &=\frac1{\zeta(2)}\log^3 m-\frac1{\zeta(2)}\log^3m + \frac1{3\zeta(2)}\log^3m + O(\log^2m)\\ &=\frac1{3\zeta(2)}\log^3m+O(\log^2m)\\ &=\frac2{\pi^2}\log^3m + O(\log^2m). \end{align} $$ W związku z tym, $$ S_2(x,m)=\frac{2x}{\pi^2}\log^3m + O(x\log^2m)+O(m^2). $$

Może uda nam się zdobyć $S_a(x,m)$tą samą metodą. Ale wynikowe sumy są bardziej skomplikowane.