Multiplikatywny system pierścienia i kategorii
Jeśli A jest jakąkolwiek kategorią, klasą morfizmów$S$w A mówi się, że jest systemem multiplikatywnym czy$(a)$ zamyka go kompozycja, czyli: $id_X$ jest w $S$ dla każdego $X$w A i kiedykolwiek$f$ i $g$są morfizmami w A takie, że kompozycja$gf$ to ma sens $gf$ jest w $S$; $(b)$ dowolny schemat formularza $X\overset{f}\longrightarrow Y \overset{s}\longleftarrow Z$ z $s$ w $S$ można wypełnić jako $\require{AMScd}$ \ begin {CD} W @> g >> Z \\ @VtVV @VVsV \\ X @ >> f> Y \ end {CD} z$t$ w $S$. To samo dotyczy wszystkich odwróconych strzałek. Ostatecznie$(c)$ dla pary morfizmów $f,g:X\to Y$ tam istnieje $s$ w $S$ z $sf=sg$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje $t$ w $S$ z $ft=gt$.
Moje pytanie brzmi: czy ta definicja pokrywa się z pojęciem multiplikatywnie zamkniętego zbioru dla dowolnego pierścienia$R$ jeśli spojrzymy na $R$jako kategoria Ab z tylko jednym obiektem? Stan na pewno$(a)$ zapewnia dokładnie to, czego pragniemy dla multiplikatywnie zamkniętego zbioru (czyli podzbioru $S\subseteq R$ takie że $1\in S$ i $x,y\in S\Rightarrow xy,yx\in S$), i jeśli $R$ jest przemienna, $(b)$ i $(c)$ stają się oczywiste, ale w przypadku nieprzemiennego pierścienia nie mogę znaleźć dowodu na te warunki.
Czy ktoś mógłby przedstawić dowód lub kontrprzykład? Jeśli odpowiedzią jest kontrprzykład, czy jest jakiś głęboki powód, dla którego zdarza się, że działa tylko w przypadku przemienności, czy też jest to pojęcie systemu multiplikatywnego, które ma być zaprojektowane tylko po to, aby uogólnić te przypadki?
Odpowiedzi
Tak, to się pokrywa, ale raczej trywialnie (w przypadku przemienności).
Zobacz swój (przemienny) pierścień $R$jako kategorię w następujący sposób. Plik$R$-moduł działanie $R$ sama w sobie wywołuje morfizm $\iota: R \to \mathrm{Hom}_{\mathbb Z}(R,R)$, więc możemy rozpatrywać kategorię z jednym obiektem (mianowicie $R$), a zbiór morfizmów to $\iota(R)$. Fakt, że tworzy to plik$\mathbf{Ab}$-kategoria jest częścią aksjomatów pierścienia. Potrzebujesz, aby pierścień był jedności, aby morfizm tożsamości był obecny, a przemienność daje ci inne aksjomaty. Na przykład, jeśli dostaniesz$\require{AMScd}$ \ begin {CD} R @> f >> R @ <s << R \ end {CD} masz w zasadzie dwa elementy oryginalnego pierścienia$R$. Schemat można łatwo uzupełnić, zakładając to$R$ jest przemienna od $sf = fs$ prowadzi do diagramu przemiennego $\require{AMScd}$ \ begin {CD} R @> f >> R \\ @VsVV @VVsV \\ R @ >> f> R \ end {CD} Oświadczenie (c) można udowodnić podobnie, przyjmując$t=s$. Nie wiem, jak lokalizować nieprzemienne pierścienie w podzbiorach$S$ generalnie, ale założę się, że jeśli te pomysły miałyby sens, to lokalizacja $S^{-1}R$ będzie istnieć, kiedy $R$jest nieprzemienna w konkretnym przypadku, w którym te aksjomaty kategorialne są spełnione, ale nie ogólnie. Czytałem to, aby dowiedzieć się trochę o lokalizacji nieprzemiennej i nie jest to tak inspirujące, jak jej odpowiednik przemienny.
Mam nadzieję, że to pomoże