Następstwem nierówności Dooba dla ogólnych podmartyngałów
Próbowałem udowodnić następujący wynik:
Pozwolić $(X_n)_{n \in \mathbb N_0}$być submartyngałem lub supermartyngałem. Użyj nierówności Dooba i rozkładu Dooba, aby pokazać to wszystkim$n \in \mathbb N$ i $\lambda > 0$, $$ \lambda\mathbb P\left[|X|_n^* \geq \lambda\right] \leq 12\mathbb E\left[\left|X_0\right|\right] + 9\mathbb E\left[\left|X_n\right|\right]. $$ gdzie $|X|_n^* = \sup\left\{|X_k| : 0 \leq k \leq n\right\}$.
Wersja nierówności Dooba, której używamy, dotyczy każdego $p \geq 1$, $\lambda > 0$i martyngał lub dodatni podmartyngał $Y$, $$ \lambda^p \mathbb P\left[|Y|_n^*\geq \lambda\right] \leq \mathbb E\left[\left|Y_n\right|^p\right]. $$ Wystarczy udowodnić ten wynik, kiedy $X$jest podmartyngałem. Korzystanie z rozkładu Dooba$X = M+A$, $M$ wytok i $A$ rosnący przewidywalny proces z $A_0 = 0$ (więc $A$jest dodatnim submartyngałem), w rzeczywistości można wykazać silniejszą nierówność. Rzeczywiście, od$A$ jest pozytywna i rośnie, $|X|_n^* \leq |M|_n^* + A_n$. I od tego czasu$A_0 = 0$: $$ \mathbb E\left[A_n\right] = \mathbb E\left[X_n\right] - \mathbb E\left[M_n\right] = \mathbb E\left[X_n\right] - \mathbb E\left[M_0\right] = \mathbb E\left[X_n\right] - \mathbb E\left[X_0\right] \leq \mathbb E\left[|X_n|\right] + \mathbb E\left[|X_0|\right] $$ z którego to wynika $$ \mathbb E\left[\left|M_n\right|\right] \leq \mathbb E\left[\left|X_n\right|\right] + \mathbb E\left[A_n\right] \leq 2\mathbb E\left[\left|X_n\right|\right] + \mathbb E\left[\left|X_0\right|\right]. $$ Z tych nierówności wynika to \begin{align*} \lambda\mathbb P\left[|X|^*_n\geq \lambda\right] & \leq \lambda\mathbb P\left[|M|_n^*+A_n\geq\lambda\right] \\ &\leq \lambda \mathbb P\left[ |M|^*_n\geq \frac 2 3 \lambda\right] + \lambda\mathbb P\left[A_n\geq\frac 1 3 \lambda\right] \\ &\leq \frac 3 2 \mathbb E\left[\left|M_n\right|\right]+ 3\mathbb E\left[A_n\right] \\ &\leq 6\mathbb E\left[\left|X_n\right|\right]+\frac 9 2 \mathbb E\left[\left|X_0\right|\right] \end{align*} Moje pytanie jest dwojakie:
- Czy w tym argumencie występuje błąd, taki jak błąd w moich założeniach lub nieuzasadnione założenie, którego nie zauważam? A jeśli nie,
- Czy istnieje powód, dla którego moja książka (Klenke's Probability Theory: A Comprehensive Course ) używa współczynników$12$ i $9$ zamiast $9/2$ i $6$? Czy podany wynik jest w jakiś sposób bardziej klasyczny lub łatwiejszy do pokazania przy użyciu bardziej fundamentalnych właściwości martyngałów i rozkładu Dooba?
Ten problem również został tutaj omówiony , ale ten wątek tak naprawdę nie odnosi się do pozornej arbitralności współczynników$12$ i $9$. Czy ktoś może udzielić wglądu?
Odpowiedzi
To tylko fragment odpowiedzi, ponieważ nie poruszam twojego dowodu ani technik, których używa, ale jest za długi na komentarz. Moja intuicja jest taka, że współczynniki są arbitralne, ponieważ nie są optymalne. Oto jedno z możliwych ulepszeń, które zaczerpnąłem z książki Ruchy Browna, Martyngały i Rachunek Stochastyczny Jean-François Le Galla (str. 263)
Maksymalna nierówność Jeśli$(Y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ jest więc supermartingale dla wszystkich $\lambda>0$ i $k\in\mathbb{N}$: $$\lambda\mathbb{P}\left[\sup_{n\leq k}\left|Y_n\right|>\lambda\right]\leq\mathbb{E}\left|Y_0\right|+2\mathbb{E}\left|Y_k\right|$$
Dowód (nie w książce). Naprawić$\lambda>0$ i $k\in\mathbb{N}$. Pozwolić$A_k=\left\{\omega\in\Omega : \sup_{n\leq k}Y_k(\omega)> \lambda\right\}$. Określ czas zatrzymania$T=\inf\left\{n\in\mathbb{N} : Y_n> \lambda\right\}$i zauważ to $A_k=\left\{T\leq k\right\}$. Od$(Y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ jest supermartingale $$\mathbb{E}Y_0\geq\mathbb{E}Y_{T\land k}\geq \lambda \mathbb{P}(A_k)+\mathbb{E}[Y_k\mathbf{1}_{A_k^c}]$$ Teraz pozwól $S=\inf\left\{n\in\mathbb{N} : Y_n<-\lambda\right\}$ i $B_k=\left\{\omega\in\Omega : \inf_{n\leq k} Y_k(\omega)<-\lambda\right\}$. Mamy$$\mathbb{E}Y_k\leq\mathbb{E}Y_{S\land k}\leq -\lambda \mathbb{P}(B_k)+\mathbb{E}[Y_k\mathbf{1}_{B_k^c}]$$ Przekształcenie i zsumowanie dwóch nierówności daje $$\lambda\mathbb{P}\left[\sup_{n\leq k}\left|Y_n\right|>\lambda\right]\leq \mathbb{E}Y_0-\mathbb{E}[Y_k\mathbf{1}_{A^c_k}]-\mathbb{E}[Y_k\mathbf{1}_{B_k}]\leq \mathbb{E}|Y_0|+2\mathbb{E}|Y_k|$$ Nawiasem mówiąc, udowodniliśmy również, że jeszcze lepsza jest górna granica $\mathbb{E}Y_0 + 2\mathbb{E}Y_k^-$.