Niezależne próbkowanie zależnych zmiennych losowych

Aug 16 2020

Pozwolić $x_1, \ldots, x_n$być ewentualnie zależnymi zmiennymi losowymi, z których każda przyjmuje wartości$x_i \in \{0, 1, 2\}$. Załóżmy dalej, że w każdym wyniku liczba zmiennych losowych równa 2 wynosi dokładnie 1. Teraz dla każdej$i \in \{1, \ldots, n\}$ definiować $$ f_i = \begin{cases} \Pr[x_i = 2 \mid x_i \geq 1] & \text{if } x_i \geq 1\\ 0 & \text{if } x_i =0 \end{cases}, $$ i dla każdego $i \in \{1, \ldots, n\}$ pozwolić $y_i$ być zmienną losową Bernoulliego, która wynosi 1 niezależnie z prawdopodobieństwem $f_i$ i 0 w innym przypadku.

Czy poniższe przypuszczenie jest słuszne, czy też istnieje rozkład $x_i$obala to?

Hipoteza: jest ustalona$\epsilon > 0$ (to znaczy $\epsilon$ bycie niezależnym od $n$) tak, że przynajmniej z prawdopodobieństwem $\epsilon$, istnieje dokładnie jeden indeks $i$ gdzie $y_i = 1$.

Powiązane pytanie: Granice wariancji sumy zależnych zmiennych losowych

Odpowiedzi

2 RonP Aug 17 2020 at 13:15

Odpowiedź brzmi „nie” (jeśli dobrze rozumiem pytanie).

Rozważ następującą wymienną wspólną dystrybucję pliku $x_i$s. W przypadku$A$, które występują z prawdopodobieństwem $1/\sqrt n$, wszystkie $x_i$s wynoszą 1, z wyjątkiem jednego 2. W zdarzeniu uzupełniającym $B$, wszystkie $x_i$s wynoszą 0 z wyjątkiem jednego 2.

W ramach tej dystrybucji $f_i$ wynosi 0 lub $1/\sqrt n$. Pozwolić$Y=\sum y_i$. Od$E[ Y|A]=\sqrt n$, i $E[Y|B]=1/\sqrt n$w każdym przypadku jest zbyt daleko od 1; dlatego prawdopodobieństwo, że jest dokładnie jeden pozytywny$b_i$ znika.