Notacja terminów drugiego rzędu lematu Ito.
Mam tutaj pytanie o notację.
W najprostszej formie lematu Ito mamy to
$ df(Y_t) = f'(Y_t) dY_t + \frac{1}{2} f''(Y_t) d\langle Y \rangle_t$
Wiem, jak obliczyć $ d\langle Y \rangle_t $ termin, ale zawsze chcę zapytać
- jak nazywa się ten termin i co dokładnie oznacza?
- dlaczego jest napisane w tak specjalny sposób, ale nie używa $ Cov() $lub $ Var() $?
Koncepcyjnie dla mnie jest to wariancja procesu, ale po prostu nie rozumiem notacji. Dlaczego indeks dolny$ t $ jest umieszczany poza $ \langle \cdot \rangle $.
Czy mogę napisać to jak którekolwiek z poniższych?
$ \langle dY_t \rangle $
$ d \langle Y_t \rangle $
Jeśli w grę wchodzą dwa procesy, to według wzorca, powinien być napisany w ten sposób $ d\langle X, Y \rangle_t $, ale czy mogę napisać to w ten sposób poniżej?
$ \langle dX_t, dY_t \rangle $
$ d\langle X_t, Y_t \rangle $
Czy mogę też napisać to w formie integralnej? Gdzie powinienem umieścić plik$ t $ czy piszę to w formie integralnej?
Wielkie dzięki
Odpowiedzi
Notacja długich / krótkich rąk:
Osobiście zawsze uważałem notację krótkiej ręki za mylącą i do dnia dzisiejszego staram się jej unikać, kiedy tylko jest to możliwe. Poniżej postaram się wykazać, dlaczego jest to mylące i prowadzi do często popełnianych błędów.
W notacji „z długiej ręki” proces Ito $X_t$ jest zdefiniowany w następujący sposób:
$$X_t:=X_0+\int_{h=0}^{h=t}a(X_h,h) dh + \int_{h=0}^{h=t}b(X_h,h) dW_h $$
Powyżej, $a(X_t,t)$ i $b(X_t,t)$ są procesami integrowalnymi z kwadratem.
Warto zauważyć, że kwadratowe zmienności z$X_t$ byłoby wtedy:
$$\left<X\right>_t=\int_{h=0}^{h=t}b(X_h,h)^2dh $$
(wynika to z definicji zmienności kwadratowej dla procesów stochastycznych, patrz edycja na końcu tego postu)
Teraz, w notacji krótkiej, możemy napisać równanie dla $X_t$ powyżej jako:
$$dX_t=a(X_t,t) dt + b(X_t,t) dW_t$$
Po pierwsze, co tak naprawdę oznacza notacja short hand? Moglibyśmy zdefiniować$\delta X_t$ następująco:
$$\delta X_t:=X_t-X_0=\int_{h=0}^{h=\delta t}a(X_h,h) dh + \int_{h=0}^{h=\delta t}b(X_h,h) dW_h$$
I wtedy $dX_t$ można (intuicyjnie, a nie rygorystycznie) rozumieć w następujący sposób:
$$\lim_{\delta t \to 0} \delta X_t = dX_t$$
Ale myślę, że najlepiej jest po prostu zrozumieć zapis z krótką ręką, aby określić, czym tak naprawdę jest: tj. Krótką ręką dla całek stochastycznych.
Lemat Ito:
Teraz lemat Ito stwierdza, że dla każdego takiego procesu Ito $X_t$, dowolna funkcja podwójnie różniczkowalna $F()$ z $X_t$ i $t$ spełniałby następujące równanie:
$$F(X_t,t)=F(X_0,t_0)+\int_{h=0}^{h=t} \left( \frac{\partial F}{\partial t}+\frac{\partial F}{\partial X}*a(X_h,h) + 0.5\frac{\partial^2 F}{\partial X^2}*b(X_h,h)^2 \right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{\partial F}{\partial X}b(X_h,h)\right)dW_h$$
Powyżej można zauważyć termin „ odchylenie kwadratowe ”:
$$\int_{h=0}^{h=t}0.5\frac{\partial^2 F}{\partial X^2}b(X_h,h)^2 dh$$
(co w notacji „krótkiej ręki” można zapisać jako $0.5F''(X_t)d\left<X\right>_t$, tj. dokładnie taki sam jak twój $0.5f''(Y_t) d\langle Y \rangle_t$, Po prostu używam $F$ zamiast $f$ i $X_t$ zamiast $Y_t$: ponownie uważam, że krótka ręka jest znacznie mniej intuicyjna niż notacja długiej ręki, nawet po latach zabawy z procesami Ito).
Dlaczego nie skorzystać z notacji krótkiej ręki
Teraz chciałbym pokazać przykład, dlaczego uważam, że notacja short hand może być bardzo myląca: przejdźmy do procesu Ornsteina-Uhlenbecka (poniżej, $\mu$, $\theta$ i $\sigma$ są parametrami stałymi):
$$X_t:=X_0+\int_{h=0}^{h=t}\theta(\mu- X_h)dh + \int_{h=0}^{h=t}\sigma dW_h $$
Mamy $a(X_t,t)=\theta(\mu- X_h)$ i $b(X_t,t) = \sigma$.
Sztuczka w rozwiązaniu powyższego polega na zastosowaniu lematu Ito do $F(X_t,t):=X_t e^{\theta t}$, co daje:
$$X_te^{\theta t}=F(X_0,t_0)_{=X_0}+\int_{h=0}^{h=t} \left( \frac{\partial F}{\partial t}_{=\theta X_h e^{\theta h}}+\frac{\partial F}{\partial X}_{=e^{\theta h}}*a(X_h,h) + 0.5\frac{\partial^2 F}{\partial X^2}_{=0}*b(X_h,h)^2 \right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{\partial F}{\partial X}_{=e^{\theta h}}b(X_h,h)\right)dW_h=\\=X_0+\int_{h=0}^{h=t}\left(\theta X_h e^{\theta h}+e^{\theta h}\theta(\mu- X_h)\right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\left(e^{\theta h} \sigma\right)dW_h=\\=X_0+\int_{h=0}^{h=t}\left(e^{\theta h}\theta\mu\right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\left(e^{\theta h} \sigma\right)dW_h$$
Teraz, aby uzyskać rozwiązanie $X_t$, ostatnim krokiem jest po prostu podzielenie obu stron przez $e^{\theta t}$, aby wyodrębnić $X_t$ termin na LHS, który daje:
$$X_t=X_0e^{-\theta t}+\int_{h=0}^{h=t}\left(e^{\theta(h-t)}\theta\mu\right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\sigma e^{\theta(h-t)} dW_h$$
Widziałem wielu ludzi próbujących rozwiązać problem Ornsteina-Uhlenbecka, pisząc wszystko za pomocą notacji „krótkiej ręki”, a na ostatnim etapie, gdy dzielimy przez $e^{\theta t}$, Widziałem ludzi „anulujących” terminy, które normalnie byłyby zapisane jako $e^{\theta h}$ wewnątrz całek: ponieważ notacja krótkiej ręki nie rozróżnia, co jest zmienną fikcyjną całkowania (tj. "$h$„) i co zostało już zintegrowane z„$t$”.
Podsumowując, nie polecałbym używania notacji krótkiej ręki dla SDE, a jeśli się z nią natkniesz, zachęcałbym do "przetłumaczenia tego" na to, co naprawdę oznacza (tj. Notację "z długiej ręki"): przynajmniej dla mnie , znacznie ułatwiło zrozumienie.
Edycja na wariacji kwadratowej : Odmiana kwadratowa dla procesów stochastycznych jest definiowana jako granica prawdopodobieństwa, gdy rozmiar siatki staje się coraz drobniejszy, szczególnie dla ruchów Browna, moglibyśmy napisać$\forall \epsilon > 0$:
$$\left<W\right>_t:=\lim_{n \to \infty} \mathbb{P}\left(\left|\sum_{i=1}^{i=n}\left(W_{t_i}-W_{t_{i-1}}\right)^2-t\right|>\epsilon\right)=0$$
To znaczy prawdopodobieństwo, że zmienność kwadratowa jest zbieżna $t$idzie do 1, gdy rozmiar oczek staje się nieskończenie dobry (dowód jest raczej techniczny, patrz na przykład tutaj , gdzie faktycznie wydaje się, że prawie na pewno dowodzą zbieżności (co implikuje zbieżność prawdopodobieństwa)).
Zauważ, że możemy wtedy po prostu napisać:
$$t=\int_{h=0}^{h=t}dh$$ i uzyskaj w ten sposób dobrze znaną formułę:
$$ \left< W \right>_t=\int_{h=0}^{h=t}dh=t$$