O operatorach Casimir grupy Poincare
Zdefiniowaliśmy operator Casimira dla grupy jako operator dojeżdżający do pracy ze wszystkimi generatorami z tej grupy. Dla grupy Poincare znaleźliśmy dwóch operatorów Casimira:$p_\mu p^\mu$ i $W_\mu W^\mu$ gdzie $W_\mu$jest wektorem Pauliego-Lubańskiego. Sprawdzając, czy rzeczywiście są to operatorzy Casimira, mogę tak powiedzieć, ponieważ$p_\mu p^\mu$jest skalarem, automatycznie dojeżdża ze wszystkimi generatorami? To samo dotyczy drugiego operatora Casimira.
Odpowiedzi
Niestety, niezmienne operatory Lorentza nie są automatycznie operatorami Casimira - widać to, ponieważ istnieją zasadniczo nieskończone niezależne skalary Lorentza, z których można zbudować $M_{\mu\nu}$ i $P_\mu$podczas gdy wymiar podalgebry Cartana grupy Poincarégo można wykazać jako skończony. Przykładem jest$\frac12 M_{\mu\nu} M^{\mu\nu}$, który w rzeczywistości jest operatorem Casimira z podgrupy Lorentza - ale w pełnej grupie Poincaré ten operator nie dojeżdża z $P_\mu$, więc nie jest operatorem Casimira dla całej grupy.
Istota tego polega na tym, że komutator $[AB, C]$ równa się $A[B, C] + [A, C]B$, które nie jest identycznie zerem (być może dałeś się złapać terminologii - dla skalarów jest to identycznie zero jak w liczbach , a nie skalarach Lorentza )
Tak więc najprostszą metodą udowodnienia ich kazimierstwa jest po prostu przekręcenie relacji komutacyjnych (kilka sztuczek można zastosować w przypadku $W_\mu W^\mu$, ale to wykracza poza zakres tej odpowiedzi). Odwrotna sytuacja, udowadniająca, że są to jedyni operatorzy Casimira dla grupy Poincaré, jest znacznie trudniejsza - zobacz tę doskonałą odpowiedź Davida Bar Moshe na temat wykładu.