O twierdzeniu Darboux

Aug 16 2020

To, czego się nauczyłem, mówi, że twierdzenie Darboux może być użyte do udowodnienia funkcji, która nie jest ciągła, może być również prawdziwe w przypadku twierdzenia o wartości pośredniej. Czy to prawda? Ale dlaczego nie porozmawiamy na ten temat, kiedy udowodnimy to twierdzenie? Czy to nie jest takie ważne? Proszę odpowiedz ..... ps Przepraszam, że nie jestem dobry z angielskiego ... i jestem licealistą w Korei. Czy możesz wyjaśnić łatwiej niż inni?

Odpowiedzi

2 4amvim Aug 16 2020 at 20:30

Rozważ każdą różniczkowalną funkcję $f(x)$.

Tak więc w szczególnym przypadku, gdy $f(x)$ jest różniczkowalna w sposób ciągły, to oczywiście pochodna $f'(x)$jest. ciągły, a zatem, według twierdzenia o wartości pośredniej (IVT), osiągnie wszystkie wartości pomiędzy swoimi granicami. Powtarzając, w tym szczególnym przypadku, w którym nasza funkcja jest stale różniczkowalna , twierdzenie Darboux jest po prostu zwykłym IVT.

Teraz, w bardziej ogólnym przypadku, gdzie ciągłość $f'(x)$nie jest gwarantowane, nie możemy zastosować naszego zwykłego IVT. Ale ponieważ$f(x)$jest różniczkowalna, nadal możemy zastosować twierdzenie Darbouxa, co daje nam to, co dałoby IVT, gdyby miało zastosowanie. Różnica polega oczywiście na tym, że dowód IVT nie zadziałał, ponieważ jego hipoteza nie została spełniona, ale dowód Darboux działa, ponieważ ma inne wymagania niż IVT.

Podsumowując, jeśli masz funkcję i wiesz, że jest ona pochodną jakiejś funkcji, możesz otrzymać wynik IVT, nawet jeśli ta funkcja sama w sobie nie jest ciągła, dzięki Darboux. Oczywiście w przypadku, gdy funkcja jest ciągła, możesz bezpośrednio użyć IVT, nie zwracając uwagi na to, czy ta funkcja jest pochodną jakiejś funkcji, czy nie.

PS Przepraszam za zwolnienia, ale chciałem mieć pewność, że pokonam lukę językową.