Oblicz całkowity moment pędu obiektu obracającego się wokół 2 osi (np. Ziemia)
Rozważmy Ziemię. Obraca się wokół własnej osi (przechodząc przez bieguny) z pewną prędkością kątową$\vec\omega$i wokół Słońca z pewną prędkością kątową $\vec\Omega$.
W każdym podręczniku / stronie internetowej, które do tej pory widziałem, widziałem moment pędu wynikający z orbity Słońca obliczany oddzielnie od momentu pędu spowodowanego obrotem Ziemi wokół własnej osi.
Świetny. Ale jak uzyskać pełny moment pędu ziemi?
Znam następującą odpowiedź: Moment pędu obracającego się i obracającego się ciała (ziemi) , ale nie sądzę, aby odpowiadał na to pytanie. W odpowiedzi zastosowano prędkość kątową$\vec {\boldsymbol{\omega}}$- ale jak w ogóle uzyskasz tę prędkość, jeśli obiekt obraca się wokół 2 osi? Twierdzenie Eulera o rotacji nie będzie miało zastosowania, ponieważ jedna z osi nie znajduje się na obiekcie.
Dlatego powtórzę pytanie: biorąc pod uwagę orbitującą prędkość kątową $\vec\Omega$ i prędkość kątowa wokół osi Ziemi $\vec\omega$, jak mógłbym znaleźć całkowity moment pędu Ziemi (lub obiektu wykazującego podobny opis obrotu z jedną osią obrotu na ciele, drugą wyłączoną)?
Odpowiedzi
Po pierwsze, weź pod uwagę, że obrót Ziemi jest ustawiony pod kątem do osi orbity.
Tutaj $$\begin{array}{r|c|c|c}\\ \text{Quantity} & \text{Symbol} & \text{Value} & \text{Units} \\ \hline \text{orbital distance} & R & 1 & \text{AU} \\ & & 1.496\cdot 10^{11} & \text{m} \\ \text{orbital speed} & \Omega & 1 & \text{rev/year} \\ & & 1.991\cdot 10^{-7} & \text{rad/s} \\ \text{spin} & \omega & 1 & \text{rev/day} \\ & & 7.2921\cdot 10^{-5} & \text{rad/s} \\ \text{axial tilt} & \theta & 23.4 & \deg \\ & & 0.4084 & \text{rad} \end{array}$$
Połączony obrót (podając tytuł dotyczący ujemnej osi x z góry) wynosi
$$ \vec{w} = \pmatrix{0 \\ 0 \\ 1.991 \cdot 10^{-7}} + \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & \sin \theta \\ 0 & -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \pmatrix{0\\0\\7.2921 \cdot 10^{-5} } = \pmatrix{0 \\ 2.8961\cdot 10^{-5} \\ 6.7123\cdot 10^{-5} }\; \text{[rad/s]} $$
które można przetłumaczyć na
$$ \vec{w} = \pmatrix{0 \\ 5.9735 \\ 13.845 } \; \text{[deg/hr]}$$
Co ciekawe, można obliczyć natychmiastowy środek obrotu Ziemi względem Ziemi $(c_y,c_z)$ ($c_z$pokazany poniżej negatyw). To jest punkt, wokół którego obraca się Ziemia.
Aby znaleźć punkt, oblicz prędkość orbitalną (dodatnia oś x jest poza stroną)
$$ \vec{v} = \vec{\Omega} \times \pmatrix{0\\-R\\0} = \pmatrix{ 2.9785\cdot 10^{4} \\ 0 \\0} \;\text{[m/s]}$$
a następnie środek obrotu
$$ \pmatrix{ 0 \\ c_y \\ -c_z} = \frac{ \vec{w} \times \vec{v}}{ \| \vec{w} \|^2} = \pmatrix{0 \\ 3.7410\cdot 10^{8} \\ -1.6141\cdot 10^{8} }\;\text{[m]} $$
co jest interesujące, biorąc pod uwagę jednostki odległości księżycowej (1 LD = 384402000 m )
$$ \pmatrix{ 0 \\ c_y \\ -c_z} = \pmatrix{ 0 \\ 0.9732 \\ -0.4199 }\;\text{[LD]} $$
co jest prawie jedną LD zawsze w kierunku słońca i połowę LD pod ziemią w czasie przesilenia letniego i połowę LD nad ziemią w przesileniu zimowym.
Teraz, gdy kinematyka Ziemi została ustalona, możemy mówić o dynamice.
Ziemia obraca się z $\vec{w}$ i tak jest jego moment pędu w środku ziemi $$\vec{L}_E = \mathrm{I}_E\, \vec{w}$$ gdzie ${\rm I}_E$ jest masowym momentem bezwładności ziemi.
Ale ponieważ Ziemia również się tłumaczy, ma ona pęd liniowy $$ \vec{p} = m_E \vec{v}$$.
Aby obliczyć moment pędu ziemi wokół Słońca, łączymy obie wielkości z następującą regułą
$$ \vec{L}_S = \vec{L}_E + \pmatrix{0\\-R\\0} \times \vec{p} $$
Jeśli wykonasz obliczenia, znajdziesz większość momentu pędu wzdłuż osi z , z małą składową wzdłuż osi y .
Co ciekawe, można znaleźć miejsce w przestrzeni, przez które przechodzi oś uderzenia ziemi. W podobny sposób jak powyżej, ten punkt jest
$$ \pmatrix{0\\h_y\\h_z} = \frac{ \vec{p} \times \vec{L}_E}{ \| \vec{p} \|^2} $$
Znaczenie tego punktu w przestrzeni polega na tym, że gdybyś zastosował równy i przeciwny pęd $\vec{p}$Ziemia nie tylko zatrzymałaby się na orbicie, ale także przestałaby się obracać . Możesz usunąć całą energię kinetyczną ziemi jednym impulsem przechodzącym przez ten punkt. Zatrzymałby Ziemię na swoich torach.
Zaskakujące jest, że reguła sumowania dwóch prędkości kątowych nie zależy od tego, czy „oś tych prędkości kątowych” przechodzi przez obiekt, czy nie, i czy się przecinają, czy nie.
Prędkość kątowa ciała nie zależy od twojego wyboru bezwładnościowego układu odniesienia. Załóżmy, że do ciała mamy przyczepioną strzałę; w tym momencie$t_0$ ta strzałka wskazywała na odległą gwiazdę $A$; w tym momencie$t_1$ ta strzałka wskazywała na inną odległą gwiazdę $B$- cóż, jeśli to prawda, to jest prawdą we wszystkich inercjalnych układach odniesienia. A jak szybko zmienia się orientacja ciała - nie zależy od układu odniesienia (o ile układ odniesienia jest inercyjny).
Teraz zmierzmy całkowitą prędkość kątową Ziemi. Można go najpierw zmierzyć w układzie odniesienia przymocowanym do Słońca i obracającym się w taki sposób, że prędkość Ziemi wynosi zero. Powiedzmy, że prędkość kątowa Ziemi w tym układzie odniesienia wynosi$\vec\omega$. Prędkość kątowa układu odniesienia wynosi$\vec\Omega$, więc całkowita prędkość kątowa Ziemi wynosi $\vec\omega + \vec\Omega$. Jest to wektor skierowany w stronę gwiazdy polarnej, jego wielkość jest w przybliżeniu$1/86164sec$ - gdzie 86164 to liczba sekund dnia gwiazdowego, czyli okres rotacji Ziemi względem odległych gwiazd.
Przejdźmy teraz do drugiej części twojego pytania: „W każdym podręczniku / stronie internetowej, jaką do tej pory widziałem, widziałem moment pędu wynikający z orbitowania Słońca, obliczany oddzielnie od pędu wynikającego z obrotu Ziemi wokół własnej osi. "
Tym razem układ odniesienia jest przymocowany do Słońca i jest inercyjny. „Uczciwy” sposób obliczenia całkowitego momentu pędu Ziemi w tym układzie odniesienia polega na podzieleniu Ziemi na wiele małych części, obliczeniu pędu każdej części i podsumowaniu wyników. Łatwiej byłoby obliczyć pęd wokół środka masy Ziemi, niż obliczyć pęd Ziemi tak, jakby cała jej masa znajdowała się w środku masy i zsumować te dwa wektory. Całkowity wynik byłby taki sam - to proste twierdzenie matematyczne.
Zauważ, że pęd wynikający z obrotu Ziemi wokół jej osi jest znacznie mniejszy niż pęd wynikający z obrotu Ziemi wokół Słońca. Co ważniejsze, nie tylko całkowity pęd Eratha (czyli suma tych dwóch wektorów) jest stały w czasie, każdy z tych składowych sam jest stały! (pomijamy wpływ Księżyca i innych planet). Tak więc, jeśli chcesz obliczyć szczegóły tego, jak prędkość Ziemi zależy od odległości do Słońca (prawa Kepplera) - możesz bezpiecznie zignorować część „obrotu wokół własnej osi” momentu pędu Ziemi.