Odpowiednik specjalnej grupy ortogonalnej dla osobliwych form kwadratowych
Specjalna grupa ortogonalna $SO(n)$ jest podgrupą specjalnej grupy liniowej $SL(n)$ z $n\times n$macierze z wyznacznikiem, które zachowują niezdegenerowaną symetryczną postać dwuliniową. Jeśli taka dwuliniowa postać jest traktowana jako ta związana z macierzą tożsamości, to$$SO(n):=\{M\in SL(n)\: | \: MM^{t} = I\}$$Czy istnieje ładny opis grupy zachowującej pojedynczą symetryczną dwuliniową formę? Na przykład, jeśli weźmiemy$I_{k}=(a_{i,j})$ być macierzą z $a_{i,i} = 1$ dla $1\leq i\leq k$, $a_{i,i} = 0$ dla $k+1\leq i\leq n$, i $a_{i,j} = 0$ dla $i\neq j$, więc jak możemy opisać grupę $$SO_{I_k}(n):=\{M\in SL(n)\: | \: MI_kM^{t} = I_k\}$$ wyznacznika zachowując jedną macierz $I_k$?
Dziękuję Ci bardzo.
Odpowiedzi
Tak, generalnie jest to dość natychmiastowe, w dowolnym polu (powiedzmy z $0\neq 2$). Pozwolić$m$ być wymiarem jądra i ustalić dodatkową podprzestrzeń.
Następnie w ramach tego rozkładu forma kwadratowa $q$ pisze jako $\begin{pmatrix}q_0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}$, z $q_0$niezdegenerowany. Wtedy jest grupa ortogonalna$$\begin{pmatrix}\mathrm{O}(q_0) & 0\\ \mathrm{Mat}_{m,n-m} & \mathrm{GL}_m\end{pmatrix}.$$ W szczególności, $\mathrm{SO}(q)$ składa się z tych macierzy wyznacznika $1$, czyli ukośne bloki mają oba wyznaczniki $1$ lub obydwa $-1$ (ta ostatnia jest możliwa, jeśli oba bloki są niezerowe, tj. $q\neq 0$ i $q$ jest zdegenerowany: w tym przypadku $\mathrm{SO}(q)$ ma 2 składniki jako grupę algebraiczną, podczas gdy dla $q=0$ lub $q$ niezdegenerowany, ma jeden składnik).
Podobny opis jest dla form naprzemiennych, grupy ortogonalnej $\mathrm{O}(q_0)$zastąpiona przez grupę symplektyczną. Grupa symplektyczna już będąca wyznacznikiem$1$, grupa wyznacznika 1 formy naprzemiennej jest następnie łączona we wszystkich przypadkach.
Inne konsekwencje opisu: Z tego wynika również, że unipotentny rodnik ($\mathrm{Mat}_{n,m-n}$) z $\mathrm{SO}(q)$jest zawarty w swojej pochodnej podgrupie; znajduje się w pochodnej podgrupie podłączonego komponentu$\mathrm{SO}(q)^\circ$ chyba że $(n-m,m)=(1,1)$. Także jeśli$\min(n-m,m)\ge 2$, widzimy to $\mathrm{SO}(q)^\circ$ jest doskonale.