Określ minimalny wielomian $\alpha = 1 + 3^{1/3} + 9^{1/3}$ nad $\mathbb{Q}$. Co jest$[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]$?

Question

Określ minimalny wielomian $\alpha = 1 + 3^{1/3} + 9^{1/3}$ nad $\mathbb{Q}$. Co jest$[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]$?

Próbowałem zmienić układ $\alpha$ w pewnym sensie $f(\alpha) = 0$ale nie mogę rozgryźć tej części. Jeśli wezmę$(a-1)^3 = (3^{1/3} + 3^{2/3})^3$, to się nie kończy. Nie mogę pozbyć się mocy$1/3$.

Ja też próbowałem $\alpha = (1+3^{1/3})^2 - 3^{1/3}$ ale też nie działa.

Czy moje podejście jest złe?

Answer 1

Oto inne podejście, które nie polega na manipulacjach algebraicznych.

$\mathbb{Q}(3^{1/3})$ ma stopień naukowy $3$ nad $\mathbb{Q}$, z podstawą $\{1, 3^{1/3},9^{1/3}\}$.

Minimalny wielomian $\alpha$ jest najmniejszym wielomianem transformacji liniowej $x \mapsto \alpha x$. Ten wielomian można obliczyć używając jego macierzy w odniesieniu do powyższej podstawy: $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} $$ Charakterystycznym wielomianem tej macierzy jest $x^3 - 3 x^2 - 6 x - 4$. Ten wielomian jest nieredukowalny$\mathbb Q$ ponieważ ma stopień naukowy $3$ ale bez racjonalnego pierwiastka (*), a więc jest to minimalny wielomian $A$ i stąd $\alpha$. W związku z tym,$\alpha$ ma stopień naukowy $3$ a więc $\mathbb{Q}(\alpha)=\mathbb{Q}(3^{1/3})$.

(*) użyj tutaj twierdzenia o racjonalnym pierwiastku.

Answer 2

Wskazówka:

$$(\alpha-1)^3=(3^{1/3}+3^{2/3})^3$$

$$\implies\alpha^3-3\alpha^2+3\alpha-1=3+3^2+3(3^{1/3}\cdot3^{2/3})(\alpha-1)$$

Alternatywnie,

$$\alpha=\dfrac{(3^{1/3})^3-1}{3^{1/3}-1}$$

$$\iff3^{1/3}=?$$

Teraz weź kostkę po obu stronach