Podstawowa grupa torusa z sześciokąta ze zidentyfikowanymi przeciwnymi stronami

Question

Sześciokąt ze zidentyfikowanymi przeciwległymi bokami to topologiczny torus, patrz tutaj i tutaj .

To sugerowałoby mi, że podstawową grupę torusa można zapisać jako $\langle x,y,z|xyzx^{−1}y^{−1}z^{−1}\rangle$, Ale najwyraźniej nie jest to prawdą (jak wspomniano tutaj , na przykład). Nie rozumiem, dlaczego nie.

Czy można znaleźć podstawową grupę torusa zaczynając od sześciokąta z zidentyfikowanymi przeciwległymi stronami?

Answer 1

Metoda, której użyłeś do zapisania prezentacji za pomocą sześciokątnego schematu klejenia, jest ważna tylko przy silnej hipotezie: schemat klejenia ma jeden cykl wierzchołków .

Ale hipoteza jednego cyklu wierzchołków nie jest spełniona przez sześciokątny diagram klejenia, który ma dwa cykle wierzchołków. Zapisanie wierzchołków w kolejności wokół sześciokąta jako A, B, C, D, E, F, a następnie A, C, E tworzy jeden cykl wierzchołków, a B, D, F tworzy drugi cykl wierzchołków.

Powodem tej hipotezy jest to, że kiedy tworzysz ilorazową powierzchnię schematu klejenia przez sklejenie par krawędzi, jak wskazano, obraz krawędzi tworzy 1-szkielet powierzchni ilorazowej i potrzebujesz unikalnego wierzchołka w 1-szkielecie aby każda krawędź zamknęła się w generator grupy.

Z drugiej strony możesz uzyskać prezentację nawet wtedy, gdy są dwa lub więcej cykli wierzchołków, ale aby to zrobić, musisz najpierw wybrać maksymalne drzewo w szkielecie 1 powierzchni ilorazowej, pokolorować te krawędzie "na czerwono", a następnie pokoloruj odpowiednie pary krawędzi wielokąta „na czerwono”, a następnie po prostu zignoruj ​​czerwone krawędzie podczas pisania prezentacji (topologicznie dzieje się to, że bierzesz kolejny iloraz, zwijając maksymalne drzewo do punktu).

Na przykład przy klejeniu sześciokąta można wybrać maksymalne drzewo składające się z pojedynczej czerwonej krawędzi, której odpowiednia para krawędzi na granicy sześciokąta to $z,z^{-1}$. Więc postępując zgodnie ze wzorem, ignorujesz$z$ w generatorach i ignoruj $z$ i $z^{-1}$ w relatorach, a otrzymasz prezentację $$\langle x, y \mid x y x^{-1} y^{-1} \rangle $$