Podstawowe pytanie o homotopię
Zaczynam czytać książkę „Rational Homotopy Theory” autorstwa Yvesa Felixa, Stephena Halperina, J.-C. Thomas i ja mamy krótkie pytanie dotyczące samego początku (które dotyczy tylko podstawowej teorii homotopii w przestrzeniach, a nawet teorii racjonalnej homotopii). Książka udowadnia wynik określany jako „Whitehead's Lifting Lemma” jako Lemma 1.5 (s. 12):
Załóżmy, że dany (niekoniecznie przemienny) diagram: \ begin {array} {ccc} A & \ xrightarrow {\ varphi} & Y \\ \ \ downarrow i & & \ \ downarrow f \\ X & \ xrightarrow {\ psi} & Z , \ end {tablica} razem z a z homotopią$H: A \times I \rightarrow Z$ z $\psi i$ do $f\varphi$.
Założyć $(X,A)$ jest względnym kompleksem CW i $f$jest słabym równoważnikiem homotopii. Następnie$\varphi$ i $H$ można rozszerzyć odpowiednio do mapy $\Phi: X \rightarrow Y$ i homotopia $K: X \times I: \rightarrow Z$ z $\psi$ do $f \Phi$.
Następnie książka zawiera pewne następstwa, a moje pytanie brzmi: w jaki sposób poniższe stwierdzenie jest następstwem lematu podnoszącego Whiteheada?
Gdyby $(X, A)$ jest względnym kompleksem CW i $A$ ma zatem typ homotopii kompleksu CW $X$ ma typ homotopii kompleksu CW.
Myślę, że udałoby mi się udowodnić ten wynik, konstruując kompleks CW $\tilde{X}$ z $\tilde{A}$ (złożony odpowiednik $A$), sklejając komórki za pomocą dołączanych map z $(X, A)$i używając wyniku zachowania ekwiwalencji w wypychaniach (takich jak ten ekwiwalent homotopii w kwadracie wypychania z kofibracją ) na każdym szkielecie, ale nie widzę, jak to używa powyższego lematu, a wynik, którego potrzebowałbym o wypychaniu i ekwiwalencjach wydaje mi się, że pojawia się później w książce.
Każdy wgląd jest mile widziany, pozdrawiam!
Odpowiedzi
Pozwolić $A$ być kompleksem CW i $X$ uzyskany z $A$przez indukcyjne przyłączanie komórek. pisać$i:A\hookrightarrow X$ do włączenia.
Na początek niech $p:\widetilde X\rightarrow X$być przybliżeniem CW (znanym również jako model komórkowy, patrz Th.1.4). Od$A$ jest kompleksem CW słabą równoważność $p$ wywołuje bijekcję $p_*:[A,\widetilde X]\xrightarrow\cong[A,X]$(patrz Co.1.6). Tak więc jest mapa$\widetilde i:A\rightarrow\widetilde X$ wraz z homotopią $H:p\widetilde i\simeq i$. Rozważmy teraz diagram \ begin {array} {ccc} A & \ xrightarrow {\ widetilde i} & \ widetilde X \\ \ i \ downarrow & & \ \ downarrow p \\ X & \ xrightarrow {=} & X. \ end {tablica} Założenia lematu 1.5 są spełnione, więc istnieje mapa$\varphi:X\rightarrow\widetilde X$ takie że $\varphi i=\widetilde i$ i $p\varphi\simeq id_X$. A zatem$X$ jest (homotopią) wycofaniem kompleksu CW $\widetilde X$i wynika z tego bezpośrednio $X$ ma typ homotopii CW.
Teraz ostatni fakt jest prawdziwy w podanym ogólnym ujęciu, ale ustalimy bardziej precyzyjne stwierdzenie dla obecnej sytuacji: pokażemy, że $X$ jest równoważnikiem homotopii $\widetilde X$ zgodnie z oczekiwaniami.
Zauważ, że $p_*:[\widetilde X,\widetilde X]\rightarrow [\widetilde X,X]$ trwa $\varphi p$ do $p(\varphi p)=(p\varphi)p\simeq p$. Ale ponieważ$p$ jest słabą równoważnością, indukowana mapa jest bijektywna, więc równanie $p_*(\varphi p)=p_*(id_{\widetilde X})$ to sugeruje $\varphi p\simeq id_{\widetilde X}$. Tak więc mamy roszczenie.