Podstawy prawdy, sprawdzalności i aksjomatów za pomocą hipotezy kontinuum
Niech S będzie strukturą / językiem ZFC (w tym PL 1). Niech CH odnosi się do dobrze znanej hipotezy kontinuum. Moje twierdzenia są następujące i czy możesz po prostu powiedzieć, czy to prawda, czy nie, i dlaczego?
W S ani CH nie jest prawdą ani fałszem, ponieważ w S tylko tautologie i sprzeczności są już prawdziwe / fałszywe, a CH nie jest takie.
Powiedzmy, że zakładam tylko jeden aksjomat w S, który mówi: istnieje pusty zbiór. Teraz w tym scenariuszu CH ponownie nie jest ani prawdziwe, ani fałszywe, ponieważ nadal nie możemy w ogóle mówić o kardynalności zbiorów (a więc nie możemy mówić o CH).
Powiedzmy, że zakładam ZFC w S. Teraz możemy mówić o kardynalności zbiorów. Oznacza to, że tutaj CH jest wff, więc jest albo prawda, albo fałsz. Ale nie możemy udowodnić, który to jest (Gödel, Cohen). Ale to znaczy: CH jest prawdziwe x lub fałszywe w ZFC w tej chwili, po prostu nie wiemy i nigdy się nie dowiemy!
Jeśli po prostu brutalnie założymy, że CH jest prawdą w ZFC (ZFC + CH), to nie ma niespójności (dowód Gödela), ale jeśli weźmiemy ZFC + ~ CH, możemy udowodnić, że nie ma również niezgodności (Cohen), więc ZFC jest - luźno mówione - zbyt ogólne, aby właściwie uchwycić prawdę / fałsz CH, tak jak sieć rybaka jest czasami zbyt duża, aby złapać określone ryby.
Odpowiedzi
Jest tu kilka kwestii, które na początku mogą wydawać się nieistotne, ale z czasem spowodują zaciemnienie (już dość zniuansowanego) obrazu.
Po pierwsze, łączysz struktury , teorie i języki . W kolejności rosnącej złożoności:
Język (zwany również podpis lub słowa ) jest zestaw symboli nie logicznych, takich jak$\{\in\}$ lub $\{+,\times,0,1,<\}$.
Teoria jest zbiorem zdań w pierwszej kolejności, a na języku$\Sigma$ za $\Sigma$-teoria to teoria składająca się ze zdań w języku $\Sigma$ - np $\mathsf{ZFC}$ jest $\{\in\}$-teoria i pierwszego rzędu $\mathsf{PA}$ jest $\{+,\times,0,1,<\}$-teoria.
Struktury danego języka jest zestaw wraz z interpretacją poszczególnych symboli z tego językahttps://en.wikipedia.org/wiki/Structure_(mathematical_logic)#Interpretation_function.
To, czy dany ciąg symboli jest wff, zależy tylko od używanego języka , a nie od tego, jakie aksjomaty rozważamy, ani od tego, na jakiej strukturze (jeśli w ogóle) się koncentrujemy.$\mathsf{CH}$ jest wff w języku $\{\in\}$. Co za puste$\{\in\}$-teoria (twoja "$S$„), czego nie można zrobić, to udowodnić podstawowe rzeczy $\mathsf{CH}$i zdania pokrewne. Więc$S$ może rozmawiać $\mathsf{CH}$, po prostu nie ma wiele do powiedzenia. Ten problem jest domniemany w$(1)$ i $(2)$i wyraźnie w $(3)$.
A teraz przejdźmy do bardziej subtelnej kwestii: prawdy i fałszu . Relacja satysfakcji$\models$ łączy struktury i zdania / teorie z „$\mathcal{A}\models\varphi$„(odp.”)$\mathcal{A}\models\Gamma$„) jest odczytywane jako„$\varphi$ jest prawdziwe w $\mathcal{A}$"(odp." Każde zdanie w $\Gamma$ jest prawdziwe w $\mathcal{A}$„). Ale terminu„ prawda ”używamy tylko w tym kontekście; kiedy mówimy o teoriach, można udowodnić , że jest ono właściwe .
Głównym powodem rezerwowania terminów takich jak „prawda” i „fałsz” dla struktur w przeciwieństwie do teorii jest to, że standardowe właściwości prawdy, takie jak biwalencja, zachowują jedynie prawdę w strukturze, a nie możliwość udowodnienia w teorii. Rozdzielając terminy, ułatwiamy precyzję i unikamy subtelnych błędów. To jest problem z twojego punktu widzenia$(3)$, gdzie prawda i możliwość udowodnienia się mieszają. W szczególności oświadczenie
CH jest prawdziwym xor fałszem w ZFC w tej chwili, po prostu nie wiemy i nigdy się nie dowiemy
nie analizuje.
OK, niestety będzie znaleźć ludzi, że rzeczy są prawdziwe / fałszywe w$\mathsf{ZFC}$. Związek jest taki, że zdanie można udowodnić w teorii$T$ https://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del%27s_completeness_theorem jest to prawdą we wszystkich modelach $T$, więc nie jest to całkowicie nieuzasadnione. Jest to jednak nadużycie terminologii i należy go unikać, dopóki nie opanuje się podstaw tematu.
Po przejściu od prawdy do udowodnienia, wskaż $(4)$to jest poprawne z jedną niewielką dodatkową hipotezą: założenie$\mathsf{ZFC}$jest zgodny w pierwszej kolejności , zarówno$\mathsf{ZFC+CH}$ i $\mathsf{ZFC+\neg CH}$ SA stałe.