Pokaż tę rangę ( $A^{n+1}$) = pozycja ( $A^n$) [duplikować]
Przypuszczać $A$ jest $n \times n$ matrix tj $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$, udowodnij tę rangę ($A^{n+1}$) = pozycja ($A^n$). Innymi słowy, muszę udowodnić, że ich spacje zakresów lub spacje zerowe są równe. Jeśli to pomoże,$A$ jest pojedynczą macierzą.
Zauważ, że nie chcę używać bloków Jordan, aby to udowodnić. Czy można to udowodnić bez użycia formularza Jordan? Potrafię wykorzystać twierdzenie Schura o triangularyzacji. Nie wiadomo również, czy A jest diagonalizowalne.
Odpowiedzi
$\newcommand{\rg}{\operatorname{range}}$ Oczywiście dla każdego $m$, $\rg A^{m+1}\subset\rg A^{m}$, więc jeśli $d_m=\dim\rg A^m$, $d_{m+1}\le d_m$. Jeśli$d_{m+1}=d_m$ dla niektórych $m$, następnie $\rg A^{m+1}=\rg A^{m}$ i dlatego $\rg A^m=\rg A^{m+1}=\rg A^{m+2}=\dotsb{}$. To znaczy sekwencja$d_0,d_1,\dots$staje się stała, gdy przestaje opadać.
Dlatego$d_0= n$, sekwencja musi przestać opadać w ciągu $n$ warunki.
Edycja: w przypadku problemu, który sformułowałeś w komentarzu, $\rg A^{m+1}=\{AA^{m}y:y\in \mathbb C^n\}=\{Ax:x=A^my\in\rg A^m\}=\{Ax:x\in\rg A^m\}$,
Dlatego$\rg A^{m}=\rg A^{m+1}\implies$
$\rg A^{m+1}=\{Ax:x\in\rg A^m\}=\{Ax:x\in\rg A^{m+1}\}=\rg A^{m+2}$.
Wskazówka
Możesz to udowodnić $k \ge 0$ $$\mathrm{rank}(A^{k+2}) - \mathrm{rank}(A^{k+1}) \le \mathrm{rank}(A^{k+1}) - \mathrm{rank}(A^{k})$$
W związku z tym, $$\mathrm{rank}(A^{n+1}) < \mathrm{rank}(A^{n})$$ oznaczałoby sprzeczność $\mathrm{rank}(A) \gt n$.
Wszystko zależy od $n$. Więc to jest fajny przypadek dla całkowitej indukcji przez n.
n = 1: A = liczba rzeczywista lub zespolona i niezerowa. $Rank(A)=1=Rank(A^{n=1})=n=1=rank(a^2)=rank(A^2)=rank(A^{n+1})$
Dla $n$ naturalne jest hyptheses $true$.
Dla $n+1$ Zmiana dokładnie w jednym wierszu lub kolumnie sprawy $n$. Ten wiersz lub kolumna może być albo, ale nie liniowa, zależna od innych tworzących literę A.$n$. Implikuje niejawnie, że co najmniej jeden element w kolumnie lub wierszu jest różny od zera dokładnie w wymiarze dodanym do A dla$n$.
Możemy teraz użyć kilku równoważnych definicji dla $rank$macierzy kwadratowej. Z ograniczeniem do ogólności dodany wiersz lub kolumna ma tylko jeden element niezerowy. Działa to jako czynnik, na przykład w określonym rozwoju lub jest nową wartością własną lub macierzą A dla$n+1$. Zatem wyznacznik jest niezerowy przynajmniej w tym rozwoju, ponieważ mamy niezerową wartość i wiedzę, że wyznacznik naszego A dla$n$ jest różna od zera i $rank(A)=n$.
Główną ideą w etapie indukcji jest pierścień stopnia Matrice lub Rank conserse przez mnożenia macierzy nieosobliwej na ogół$A$się specjalnie. Macierze niezerowe$rank$zachować rangę podczas pomnożenia. Rozważane mnożenie jest przemienne, ponieważ mnożymy tylko A. To kolejny wskaźnik dla naszych hipotez dla$n+1$. Wartości własne i rozkład Schura są ze sobą ściśle powiązane. Jedną z macierzy rozkładu Schura jest macierz górnego trójkąta. Więc zwiększając wymiar z$n$ do $n+1$ po prostu dodaje kolejny ostatni, jeśli ostatni wiersz i kolumna w wektorze jednoczącym mają tylko wartość w nowym wymiarze.
Rozkład Schura jest równoważny macierzy $𝐴∈ℂ^{𝑛+1×𝑛+1}$ ma właściwość polegającą na macierzy $𝐴∈ℂ^{𝑛×𝑛}$. Macierz$rank$ z grupy i mogą być przekształcane w siebie nawzajem w ramach zachowania $rank$. A dowód jest zrobiony.