Pokaż, że grupa porządku $pq$ ma podgrupę porządku $p$ i $q$ bez korzystania z twierdzenia Sylowa i Cauchy'ego

Question

Gdyby $o(G)$ jest $pq$, $p>q$ są liczbami pierwszymi, udowodnij to $G$ ma podgrupę porządku $p$ i podgrupa porządku $q$.

[To pytanie jest od Hersteina i występuje przed twierdzeniem Sylowa i Cauchy'ego. Więc oczekuję odpowiedzi bez użycia żadnego z tych]

Oto, co mam do tej pory:

Gdyby $G$ jest cykliczny, to zrobimy inaczej, możemy założyć, że nie jest cykliczny, co oznacza, że ​​każdy element nieidentyfikujący musi być uporządkowany $p$ lub $q$.

Walizka $(1)$ jeśli istnieje $a\in G$ takie że $o(a) = p$ i jeśli istnieje również element porządku $q$wtedy skończymy. Możemy więc założyć, że każdy element nieidentyfikacyjny jest uporządkowany$p$. Teraz wybierz$b\in G$ takie że $b\notin \langle a \rangle$ następnie $o(b) = p$ i $\langle a \rangle\cap\langle b \rangle =(e)$

Więc mamy $\langle a\rangle \langle b\rangle\subset G$ ale $o(\langle a \rangle \langle b \rangle) = \dfrac {o(\langle a \rangle)o(\langle b \rangle)}{o(\langle a\rangle \cap \langle b\rangle)} = p^2$ ale $p^2 > pq$ [od $p>q$] więc mamy sprzeczność.

Podaj mi wskazówkę dotyczącą drugiego przypadku i popraw mnie, jeśli mój argument w pierwszym przypadku jest błędny

Answer 1

Załóżmy, że każdy element nieidentyfikujący generuje cykliczną grupę porządku $q$, mniejsza z liczb pierwszych.

Koniugacja to relacja równoważności na grupie. Powinniśmy więc móc podzielić grupę na klasy równoważności. Rozmiar klasy równoważności, do której należy element, jest indeksem centralizatora elementu. Czemu? Naprawić$x\in G$. Zrób homomorfizm z$G \rightarrow G$ wysyłając $g \rightarrow xgx^{-1}$. Rozmiar klasy równoważności to kolejność obrazu. Jakie jest jądro tej mapy?

Jeśli centralizator jest w porządku $p$ lub $pq$, skończyliśmy. Załóżmy, że każdy centralizator jest w porządku$q$, indeks centralizatora to $pq/q=p$. Każdy element należałby do klasy równoważności rozmiaru$p$, z wyjątkiem elementu tożsamości.

Pokazuje to proste obliczenie liczności $pq= kp+1$, gdzie oznacza liczbę klas równoważności. Jest to jednak absurdalne i dlatego nie każda podgrupa porządku$q$.