Pokaż, że ta rodzina jest jednakowa w $0$
Pozwolić $E$ być znormalizowaną przestrzenią wektorową, $$p_K(\varphi):=\sup_{x\in E}|\varphi(x)|\;\;\;\text{for }\varphi\in E'$$ dla kompaktowych $K\subseteq E$ i $\sigma_c(E',E)$ oznaczają początkową topologię w odniesieniu do $(p_K,K\subseteq E\text{ is compact})$, czyli topologia podprzestrzeni włączona $E'$ odziedziczone z topologii zwartej konwergencji $C(K)$.
Pozwolić $\mathcal C\subseteq C(E')$ być jednolite $\sigma_c(E',E)$-equicontinuous.
Dlaczego możemy to wywnioskować $$\forall\varepsilon>0:\exists\delta>0:\forall\varphi\in E':\left\|\varphi\right\|_{E'}<\delta\Rightarrow\sup_{f\in\mathcal C}\left|f(0)-f(\varphi)\right|<\varepsilon?\tag1$$
Najprawdopodobniej pożądane roszczenie jest trywialne do uzyskania, ale nie jestem w stanie zobaczyć, jak to zrobić ze względu na dość skomplikowane ustawienie.
$(1)$ jest oczywiście pewnym rodzajem nieciągłości $0$. Nie jestem pewien, czy jest to istotne, ale na podstawie twierdzenia Banacha-Alaoglu$\{\varphi\in E':\left\|\varphi\right\|_{E'}\le\delta\}$ jest $\sigma_c(E',E)$-kompaktowy dla wszystkich $\delta>0$.
Odpowiedzi
Przypomnij sobie definicję jednolitej nieciągłości$\mathcal{C}$ jako zestaw map $(E',\sigma_c(E',E)) \to \Bbb{R}$:
Dla każdej okolicy $V \subseteq \Bbb{R}$ z $O$ jest sąsiedztwo $U$ z $0$ w $(E',\sigma_c(E',E))$ takie że $$\varphi,\psi \in V \implies f(\varphi)-f(\psi) \in V, \, \text{for all }f \in \mathcal{C}.$$
Teraz dla $\psi = 0$ i $V = \left\langle-\frac\varepsilon2, \frac\varepsilon2\right\rangle$, mamy okolicę $U$ z $0$ takie że $$\varphi \in U \implies |f(\varphi)-f(0)|<\frac\varepsilon2, \, \text{for all }f \in \mathcal{C} \implies \sup_{f \in \mathcal{C}} |f(\varphi)-f(0)|\le\frac\varepsilon2<\varepsilon$$ $U$ będąc w sąsiedztwie $0$ zawiera przecięcie skończenie wielu otwartych kul wokół początku promieni $\delta_1, \ldots, \delta_k$ w odniesieniu do seminormów zbiorów zwartych $K_1, \ldots, K_n \subseteq E$: $$\bigcap_{k=1}^n \{\phi \in E' : p_{K_k}(\phi) < \delta_k\} \subseteq U.$$ Zestawy $K_k$ są przez niektórych ograniczone normami $M_k > 0$ więc jeśli ustawimy $$\delta := \min_{1 \le k \le n}\frac{\delta_k}{M_k}$$ wtedy dla każdego $\varphi \in E'$ mamy $$\|\varphi\|_{E'} < \delta \implies p_{K_k}(\varphi) = \sup_{x \in K_k}\|\varphi(x)\| \le \|\varphi\|_E'\sup_{x \in K_k}\|x\| < \delta M_k \le \delta_k$$ dla wszystkich $k=1, \ldots, n$ więc $$\|\varphi\|_{E'} < \delta \implies \varphi \in \bigcap_{k=1}^n \{\phi \in E' : p_{K_k}(\phi) < \delta_k\} \subseteq U \implies \sup_{f \in \mathcal{C}} |f(\varphi)-f(0)|<\varepsilon.$$
Jeśli się nie mylę, powinien to być przykład wyniku bardziej ogólnego: Niech
- $(X,\tau)$ być przestrzenią topologiczną;
- $Y$ być normalnym $\mathbb R$-Przestrzeń wektorowa;
- $$\overline p(f):=1\wedge\sup_{x\in X}\left\|f(x)\right\|\;\;\;\text{for }f\in C(X,\tau;Y);$$
- $$p_K(f):=\sup_{x\in K}\left\|f(x)\right\|_Y\;\;\;\text{for }f\in C(X,\tau;Y)$$ dla $\tau$-kompaktowy $K\subseteq X$ i $$P:=\{p_K:K\subseteq X\text{ is }\tau\text{-compact}\}.$$
- $(Z,d)$ być przestrzenią metryczną;
- $F:C(X,\tau;Y)\to Z$ być ciągłe w odniesieniu do lokalnie wypukłej topologii $C(X,\tau;Y)$ wygenerowane przez $P$ i metryka $d$ na $Z$.
Wtedy łatwo to widzimy $f$ jest ciągły w stosunku do normy $\overline p$ na $C(X,\tau;Y)$ wygenerowane przez $P$ i metryka $d$ na $Z$: Pozwolić $f\in C(X,\tau;Y)$ i $\varepsilon>0$. Przy założeniu ciągłości$F$, tam jest $P$-sąsiedztwo $N$ z $f$ z $$d(F(f),F(g))<\varepsilon\;\;\;\text{for all }g\in N\tag1.$$ Pozwolić $U_p$ oznaczają otwartą piłkę jednostki $$C(X,\tau;Y)$$ z szacunkiem do $p\in P$. Możemy pisać$N=f+N_0$ dla niektórych $P$-sąsiedztwo $N_0$ z $0$. Co więcej, są$k\in\mathbb N_0$, $\tau$-kompaktowy $K_1,\ldots,K_k\subseteq X$ i $\delta_0>0$ z $$B_0:=\delta_0\bigcap_{i=1}^kU_{p_{K_i}}\subseteq N_0\tag2.$$ Teraz pozwól $\delta\in(0,1)$ z $\delta\le\delta_0$. Następnie,$$\delta U_{\overline p}\subseteq B_0\tag3$$ i stąd $$d(F(f),F(g))<\varepsilon\;\;\;\text{for all }g\in f+\delta U_{\overline p}\tag4;$$ to znaczy $f$ jest ciągła o godz $f$ w odniesieniu do lokalnie wypukłej topologii $C(X,\tau;Y)$ wygenerowane przez $P$ i metryka $d$ na $Z$.
Alternatywnie, po wyniku można by natychmiast zauważyć, że topologia wygenerowana przez $P$ jest grubsza niż topologia generowana przez $\overline p$, jak omówiono tutaj .
Teraz jeśli $X$ jest znormalizowany $\mathbb R$-przestrzeń wektorowa i $\tau$ jest topologią generowaną przez $\left\|\;\dot\;\right\|_X$, następnie $$\left\|A\right\|=1\wedge\sup_{x\in X}\left\|Ax\right\|_Y\le\left\|A\right\|_{\mathfrak L(X,Y)}\tag5\;\;\;\text{for all }A\in\mathfrak L(X,Y)$$ i stąd topologia generowana przez $\left\|\;\cdot\;\right\|$ jest grubsza niż jednolita topologia operatora (tj. topologia generowana przez $\left\|\;\cdot\;\right\|_{\mathfrak L(X,Y)}$). Więc natychmiast to uzyskujemy$F$ jest ciągła w odniesieniu do topologii generowanej przez $\left\|\;\cdot\;\right\|_{\mathfrak L(X,Y)}$ i metryka $d$ na $Z$ także.