Pokazują, że $\int\limits_{\mathbb{R}}gd\lambda=\int\limits_{X}g\circ fd\mu$

Question

Przypuszczać $(X,\mathcal{A},\mu)$ jest miarą przestrzeni i $f:X\to\mathbb{R}$jest wymierne. Pokazują, że

1. $\lambda(A)=\mu(f^{-1}(A))$ definiuje miarę na $\sigma$-algebra podzbiorów borelowskich $\mathbb{R}$
2. Pokazują, że $\int\limits_{\mathbb{R}}gd\lambda=\int\limits_{X}g\circ fd\mu$ dla każdej funkcji Borela $g:\mathbb{R}\to [0,\infty]$

Tutaj udało mi się udowodnić część 1.
Ale walczę z częścią 2.

Wiem, że całka z $g$ jest definiowana przez suprimum całek prostych funkcji $\phi\leq g$.

Więc najpierw próbowałem udowodnić wynik dla prostych funkcji:
Tak więc niech$\phi(x)=\sum\limits_{k=1}^{k=n}a_k\chi_{E_k}(x)$ być prostą funkcją.

Więc $\int\phi d\lambda=\sum a_k\lambda(E_k)=\sum a_k\mu(f^{-1}(E_k))$
A potem nie widzę właściwego sposobu postępowania.

Doceniam Twoją pomoc

Answer 1

Równość prostych funkcji jest udowodniona w komentarzach. W przypadku ogólnej funkcji nieujemnej możemy postępować, jak pokazano poniżej.

Dla każdego $g \geq 0$ istnieje ciąg nie malejący$(\alpha_n)$prostych funkcji zbieżnych punktowo do niego. Mamy wtedy:

$$(\alpha_n\circ f)(x) = \alpha_n(f (x)) \leq \alpha_{n+1}(f(x)) \rightarrow g(f(x)) $$

Z twierdzenia o zbieżności monotonicznej otrzymujemy:

$$ \int_{\mathbf{R}} \alpha_n d\lambda =\int_{X} \alpha_n\circ f d\mu \rightarrow \int_X g\circ f d\mu $$