Pola pośrednie prostego rozszerzenia $\mathbb{C}(x)$

Question

Pozwolić $\mathbb{C}(x)$ być polem funkcji racjonalnych $\mathbb{C}$. Oczywiście$\mathbb{C}(x)$ jest rozszerzeniem pola $\mathbb{C}$. Moje pytanie brzmi teraz: czy są między nimi jakieś pola pośrednie$\mathbb{C}$ i $\mathbb{C}(x)$? Jeśli tak, co możemy powiedzieć o ich wymiarze? Czy zawsze jest nieskończona?

Answer 1

Podsumowanie komentarzy (nie licząc ponownych spotkań, należy je publikować osobno!) Poniżej $K$ oznacza dowolną dziedzinę pośrednią ściśle pomiędzy, $\Bbb{C}\subset K\subset\Bbb{C}(x)$.

1. Dlatego $\Bbb{C}$jest algebraicznie zamknięta, nie ma rozszerzeń algberaicznych. Stąd brak skończonych rozszerzeń. W związku z tym$[K:\Bbb{C}]=\infty$.
2. Z drugiej strony, jeśli $u=f(x)/g(x)$ jest dowolnym elementem $K\setminus\Bbb{C}$, $f,g\in\Bbb{C}[x]$, następnie $x$ jest zerem wielomianu $$ P(T):=f(T)-g(T)u\in K[T]. $$ W związku z tym $x$ jest algebraiczne $K$. W związku z tym$[K(x):K]<\infty$. Ale,$K(x)=\Bbb{C}(x)$, więc możemy to stwierdzić $[\Bbb{C}(x):K]<\infty$. Nic więcej nie można powiedzieć, ponieważ łatwo to widzimy$[\Bbb{C}(x):\Bbb{C}(x^n)]=n$ dla każdej dodatniej liczby całkowitej $n$, więc stopień rozszerzenia może być dowolnie wysoki.
3. Zgodnie z twierdzeniem Lürotha każde pole pośrednie$K$ jest w rzeczywistości prostym transcendentalnym rozszerzeniem $\Bbb{C}$. Innymi słowy,$K$ jest $\Bbb{C}$-izomorficzny do $\Bbb{C}(x)$.