Pozostałości pola złożonego z dwóch pól

Jan 04 2021


[Pytanie]

wiem to $K'\cdot K''$ jest nieokreślonym rozszerzeniem $K$ ale nie wiem dlaczego $K'\cdot K''$ mają pole pozostałości $k'$.

czy to zawsze prawda $K_1\cdot K_2$ mają pole pozostałości $k_1 \cdot k_2$? (gdzie$k_1,k_2$ są polami pozostałości $K_1, K_2$)

Myślę, że jeśli udowodnimy twierdzenie 7.50, możemy użyć „ $K_1\cdot K_2$ mają pole pozostałości $k_1 \cdot k_2$" w tej sytuacji.

Nie możemy jednak wykorzystać tego faktu udowadniając tę ​​propozycję.

Jak mogę to udowodnić?

Dziękuję za uwagę.

odniesienie ( Algebraiczna Teoria Liczb JS Milne'a ) i ten post 1 : Dziwne rozumowanie niezramienionych rozszerzeń mających te same pola reszt są takie same.

Odpowiedzi

2 reuns Jan 04 2021 at 01:53

Dla $K/\Bbb{Q}_p$ skończone rozszerzenie $F/K$ jest nieuszkodzony iff $F=K(\zeta_n)=K(\zeta_{q-1})$ z $p\nmid n$ i $q= |O_F/(\pi_F)|$. To jest główne zastosowanie lematu Hensela.

Kiedy $E/K,E'/K$ są rozgałęzione, to nie zawsze jest tak, że pole pozostałości $EE'$ jest najmniejszym polem zawierającym pola $E,E'$, Spróbuj z $E=\Bbb{Q}_2(2^{1/3}),E'=\Bbb{Q}_2(\zeta_3 2^{1/3})$.

Kiedy $E'/K$ jest wtedy nieramiona $EE'=E(\zeta_{q-1})$ ma pole pozostałości $O_E/(\pi_E)(\zeta_{q-1})$.