Pozwolić $f:[a, b]\rightarrow\mathbb{R}$być zróżnicowanym. Jeśli $f'(a)=f'(b)$, to istnieje $c \in (a, b)$, takie że $f'(c) = \frac{f(c) - f(a)}{c - a}$
W książce ( Curso de Análise, tom 1 , Elon Lages) znajduje się sugestia, która bardzo pomaga.
Po pierwsze, zastanów się $$f'(a) =f'(b)=0$$ Następnie rozważ funkcję $g:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$, gdzie $g(x) = \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ i $g(a) = 0$. Pokazują, że$g$ osiąga maksimum lub minimum w punkcie $c \in (a,b)$. W ogólnym przypadku rozważ$$g(x) = f(x) - xf'(a)$$
Rozumiem, dlaczego pierwszy przypadek: jeśli a wziąć pochodną g, otrzymam coś takiego:
$$g'(x) = \frac{1}{x - a} \left( f'(x) - \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \right)$$
Tak więc, będąc ciągłym (z hipotezy różniczkowalnej) na zbiorze zwartym, według twierdzenia Weierstrassa, mamy to $g$ musi mieć włączone maksimum / minimum $c \in [a,b]$. Będąc punktem krytycznym, musimy mieć$g'(c) = 0$i zakładając $c \neq a$, mamy nasz pierwszy wniosek.
Ale (1) nie rozumiem, dlaczego to musi być kwestia wewnętrzna (poważnie, zajmowałem się tym pytaniem od 4 dni), a (2) druga sugestia nie jest dla mnie tak jasna.
Wszelkie inne pomysły na rozwiązania będą mi bardzo pomocne.
Odpowiedzi
Pierwsza część składa się z kilku kroków, a oto kilka wskazówek:
Jeśli $g$ nie ma lokalnego minimum ani lokalnego maksimum w $(a,b)$ następnie $g$jest z konieczności ściśle monotoniczna. To daje do zrozumienia ze$f$ jest wklęsły lub wypukły (w zależności od tego, czy $g$rośnie lub maleje). W związku z tym$f'$jest monotoniczny. Fakt, że$f'(a)=f'(b)=0$ pokazuje, że $f'\equiv 0$ i $f$jest stałą. Więc każdy$c \in (a,b)$ jest wystarczająco dobry.
Druga część jest prosta. Po prostu zastosuj pierwszą część do$g(x)=f(x)-xf'(a)$. Od$g'(a)=g'(b)=0$to jest możliwe). Uprość równanie$g'(c)=\frac {g(c)-g(a)} {c-a}$ zakończyć dowód.