Pozwolić $P$ być $30$-oboczny wielokąt wpisany w okrąg. Znajdź wartość $\frac{N}{100}$.

Dec 05 2020

Pozwolić $P$ być $30$-oboczny wielokąt wpisany w okrąg. Tam są$N$ liczba trójkątów, których wierzchołki są wierzchołkami $P$ takie, że dowolne dwa wierzchołki każdego trójkąta są oddzielone co najmniej trzema innymi wierzchołkami w $P$. Znajdź wartość$\frac{N}{100}$.

Co próbowałem : To bardziej przypomina problem Kombinatoryki niż problem geometrii, więc oto, co myślę.

Najpierw ustal punkt trójkąta. Następny punkt można wybrać w$23$sposoby. Ale nie jestem pewien, jak wybrać$3$rd punkt, jak przy wyborze $2$Po drugie, istnieją również niewielkie różnice, które nie są zgodne z regułą.

Wcześniej myślałem o naprawieniu jednego punktu, a potem następnego $2$ punkty można wybrać w ${23}\choose{2}$ sposoby, ale potem zdałem sobie sprawę, że to źle od tamtych $2$ punkty mogą nie mieć $3$ luka w punktach i nie mogłem znaleźć postępu w tej sprawie.

Jak zwykle wiem też, że liczba trójkątów na $n$-oboczny wielokąt bez wspólnych boków jest określony wzorem: - $$\rightarrow\frac{n(n-4)(n-5)}{6}$$ Więc całkowita liczba trójkątów wynosi $3250$, ale nie jestem pewien, jak ten fakt pomoże w tym problemie.

Czy ktoś może mi pomóc? Dziękuję Ci.

Odpowiedzi

4 cosmo5 Dec 05 2020 at 20:20

Wybierz dowolny punkt i nazwij go $A_1$. Oznacz punkty w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara$A_2,\ldots,A_{30}$ .

Drugi wierzchołek może pochodzić z $A_5$ do $A_{27}$.

Kiedy jest drugi $A_5$, trzeci wierzchołek może pochodzić z $A_9$ do $A_{27}$. To jest$19$ sposoby.

Kiedy jest drugi $A_6$, trzeci wierzchołek może pochodzić z $A_{10}$ do $A_{27}$. To jest$18$ sposoby.

I tak dalej. Liczba trójkątów$= 19+18+17+\ldots+1$

Moglibyśmy zacząć od dowolnego punktu jako pierwszego wierzchołka, tak jest pożądane $$\dfrac{19\cdot20}{2} \cdot \dfrac{30}{3}$$

Gdybyśmy przynajmniej wyszli $k$ punkty między sąsiednimi wierzchołkami, zgodnie z tą samą logiką, którą otrzymamy $$\dfrac{n(n-3k-1)(n-3k-2)}{6}$$

dla odpowiednich $k$. Od$3k+2$ liczba punktów jest pomijana jako pierwsza, gdy drugi wierzchołek jest $A_{k+2}$.

2 BillyJoe Dec 05 2020 at 21:04

Alternatywnym podejściem jest użycie metody gwiazd i słupków.

Możemy uogólniać i rozważać zamiast trójkątów, $k$wielokąty dwustronne. Niech też$d$ być minimalną „odległością” między ich wierzchołkami $k$wielokąty dwustronne, gdzie „odległość” to liczba wewnętrznych wierzchołków plus jeden. W naszym przypadku mamy$k = 3$ i $d = 4$. Zatem problemem staje się znalezienie liczby rozwiązań:

$$ x_1 + x_2 + \ldots + x_{k-1} + x_k = n$$

gdzie $x_i, i=1,\ldots,k$ są „odległościami” między wierzchołkami $k$wieloboki dwustronne z ograniczeniem:

$$x_i \ge d, i=1,\ldots,k$$

Możemy zdefiniować $y_i = x_i+d, i=1,\ldots,k$, a następnie pierwsze równanie staje się:

$$y_1 + y_2 + \ldots + y_{k-1} + y_k = n-kd$$

z $y_i \ge 0, i=1,\ldots,k$. Dlatego metodą gwiazd i słupków rozwiązania dla każdego wierzchołka są następujące:

$${n-kd+k-1 \choose k-1}$$

i tu są $n$ wierzchołki, ale każdy $k$-oboczny wielokąt jest wspólny z $k$ z nich, więc ostatecznym rozwiązaniem jest:

$${n-kd+k-1 \choose k-1}\frac{n}{k}={30-3\cdot4+3-1 \choose 3-1}\frac{30}{3}={20 \choose 2}\frac{30}{3}=1900$$