Prawo odwrotne wtedy i tylko wtedy, gdy na

Aug 16 2020

Próbuję udowodnić następujący wynik.

Udowodnij to $f: X \to Y$jest na wtedy i tylko wtedy, gdy ma prawo odwrotne. Następnie udowodnij, że ta odwrotność niekoniecznie jest unikalna (tj. Kiedy$f$ nie jest wstrzykiwany).

Oto co wymyśliłem, chociaż w szczególności mój „dowód” braku wyjątkowości nie jest zbyt rygorystyczny.

Dowód. Przypuszczać$f: X \to Y$jest powierzchowna. Pozwolić$y \in Y$więc istnieje $x \in X$ takie że $f(x) = y$. Chociaż to$x$ może nie być unikalne, definiujemy mapowanie $g: Y \to X$ z reguły $g(y) = x$, używając Aksjomatu Wyboru. Dla każdego takiego$y$ z tą własnością $g(y) = x$, mamy: $$ (f \circ g)(y) = f(g(y)) = f(x) = y, $$ więc $f \circ g = i_Y$, i $g$jest prawostronną odwrotnością. I odwrotnie, przypuśćmy$f$ posiada prawo odwrotne, $g: Y \to X$ z tą własnością $f \circ g = i_Y$. Pozwolić$y \in Y$. Następnie$g(y) = x$ dla niektórych $x \in X$. Potem to obserwujemy$$ (f \circ g)(y) = f(g(y)) = f(x) = i_Y (y) = y $$ więc $f$jest powierzchowna. Ta prawostronna odwrotność nie jest wyjątkowa, ponieważ musieliśmy odwołać się do Aksjomatu Wyboru, aby zdefiniować$g(y) = x$ dla niektórych $x$. W przypadku, gdy$f$ nie jest wstrzykiwany, podawany $y \in Y $, jest ich potencjalnie nieskończenie wiele $x$ takie że $f(x) = y$i możemy zdefiniować $g(y)$ równa się dowolnemu z tych x, z których każdy dałby równie ważne prawo odwrotne.

Jak wygląda ten dowód? Czy jest to właściwe zastosowanie z wyboru? Czy istnieje sposób, aby udowodnić brak wyjątkowości bardziej rygorystycznie?

Z góry dziękuję.

Odpowiedzi

2 AliasK Aug 16 2020 at 06:33

Twoja wtedy i tylko wtedy, gdy dowód wygląda dla mnie całkiem nieźle. Jednak twój dowód na wyjątkowość jest trochę słaby.

Aby udowodnić nie-niepowtarzalność, wystarczy (i prawie zawsze łatwiej) pokazać to na przykładzie. Możesz ugotować dowolny przykład, ale oto pierwszy, który przyszedł mi do głowy.

Przypuszczam, że $X=\mathbb{R}^2$ i $Y=\mathbb{R}$ z $f:X\to Y$ istota $f(x,y)=x$. Najwyraźniej ta funkcja jest włączona. Teraz zdefiniuj następującą mapę$S_1:Y\to X$ przez $S_1(x)=(x,0)$. Niewiele trzeba, żeby cię o tym przekonać$f(S_1(x))=i_Y$.

Dodatkowo mapa $S_2:Y\to X$ określony przez $S_2(x)=(x,x)$ też da $S_2(f(x))=i_Y$. Ale$S_1\neq S_2$ więc pokazaliśmy, że istnieją dwie funkcje, które dają pożądany wynik, a które nie są takie same (a zatem odwrotność nie musi być niepowtarzalna).