Prędkość piłek o różnych rozmiarach toczących się po tej samej szynie [duplikat]

Nov 30 2020

Podczas laboratorium mechaniki przeprowadziliśmy eksperyment, w którym stoczyliśmy dwie kulki (szklane i stalowe) po eliptycznej podwyższonej szynie i zmierzyliśmy punkt uderzenia. Linie szyny miały 0,76 ~ cm. Kule miały inny promień, stal - 0,825 cm, a szkło - 0,75 cm. W tym eksperymencie stalowa kula konsekwentnie docierała do krótszego zasięgu .$\\$Wypróbowałem następujące wyjaśnienie, zakładając, że żadna praca nie jest wykonywana przez tarcie (ponieważ piłka w większości się toczy): $$mgh=\frac12mv^2+\frac12Iw^2$$ I używając $v=wr$ gdy $r$ jest promieniem, w którym piłka dotyka szyny, a $I=\frac25mR^2$: $$gh=\frac{v^2}{r^2}(\frac12r^2+\frac15R^2)$$ więc $$v=\frac{gh}{0.5+0.2\frac{R^2}{r^2}}$$ Ale eksperyment dał odwrotny wynik, za mniejszy $r$uzyskujemy mniejszą prędkość końcową. Czy moje obliczenia są błędne? A może jest jeszcze jeden powód, dla którego kule opuszczały szynę z różną prędkością? (Mój instruktor powiedział mi, że kluczową odpowiedzią jest szerokość między szynami, więc nie chcę powiedzieć, że uzyskałem przeciwne wyniki z powodu tarcia lub poślizgu).

Odpowiedzi

CarstenB. Nov 30 2020 at 23:12

W twojej ostatniej formule powinien być $v^2$po lewej stronie, ale poza tym jest w porządku. Musimy jednak rozważyć, czym jest r: (prostopadła) odległość między osią obrotu a każdą szyną. Jeśli odległość między szynami wynosi$d$, następnie $$ R^2 = \left(\frac d 2\right)^2 + r^2. $$ W ten sposób otrzymujemy mianownik $$ \frac12 + \frac15 \frac{R^2}{R^2 - \left(d/2\right)^2} = \frac12 + \frac15 \frac{1}{1 - \left(d/{2R}\right)^2}. $$ Od $d$ jest taki sam dla obu piłek, większy $R$daje mniejszy mianownik, a tym samym większy zakres. To też ma sens: większe$R$oznacza, że ​​w rotacji jest mniej energii, ponieważ piłka nie spada tak daleko między szynami i obraca się w miejscu. Zastanawiam się więc nad dokładnymi wartościami z twojego eksperymentu.